民國113年 地方四等 經建行政 統計學概要考古題

民國113年 地方四等 經建行政 統計學概要收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

某週刊調查臺灣地區300 家餐廳，針對每家餐廳記錄其餐點價格分數 （Y：1 表示低價位、2 表示中價位、3 表示高價位），以及餐廳品質評等分 數（X：1 表示低品質、2 表示中品質、3 表示高品質），獲得以下的交叉表： （每小題10 分，共30 分） 餐點價格（Y） 品質評等（X） 合計 合計 試計算餐廳品質評等分數之平均值及變異數，意即E(X )及Var(X )。 試計算餐廳餐點價格分數之平均值及變異數，意即E(Y )及Var(Y )。 若Var(X+Y)=1.6691，試計算餐廳品質評等分數（X）與餐點價格分數 （Y）之相關係數，意即Cor(X, Y)，並解釋之。

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、基本定義與公式：設X為品質評等分數（1低、2中、3高），Y為餐點價格分數。應先由3×3交叉表求得各細格次數，再將欄合計與列合計分別除以總件數300，得到邊際機率P(X=x)與P(Y=y)。期望值E(X)=Σx·P(X=x)；變異數Var(X)=E(X²)−[E(X)]²=Σx²P(X=x)−[E(X)]²；共變異數Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)；相關係數Cor(X,Y)=Cov(X,Y)/(σX·σY)。
  • 二、E(X)與Var(X)之計算：題幹交叉表之細格次數與邊際合計未完整呈現，僅能列出計算步驟：令p1、p2、p3為X=1、2、3之邊際機率，則E(X)=1·p1+2·p2+3·p3，E(X²)=1·p1+4·p2+9·p3，Var(X)=E(X²)−[E(X)]²。若假設三類品質之邊際次數各為100（即各佔1/3），則E(X)=2、E(X²)=14/3、Var(X)=2/3≒0.6667。此係在假設下之結果，題目資料缺漏，無法得出唯一數值，考生應以實際表格數據代入。
  • 三、E(Y)與Var(Y)之計算：作法與X完全相同，先以Y=1、2、3之列合計除以300得邊際機率q1、q2、q3，再計算E(Y)=Σy·qy、E(Y²)=Σy²·qy、Var(Y)=E(Y²)−[E(Y)]²。在前述邊際各佔1/3之假設下，E(Y)=2、Var(Y)=2/3≒0.6667。答題時宜先補列邊際合計欄與合計列，逐格列表計算，以利閱卷者核對。
  • 四、相關係數之計算：利用Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)，可得Cov(X,Y)=[Var(X+Y)−Var(X)−Var(Y)]/2。代入Var(X+Y)=1.6691及前述Var(X)=Var(Y)=2/3，得Cov(X,Y)=(1.6691−1.3333)/2=0.1679；故Cor(X,Y)=0.1679/(0.6667)=0.2519。若採實際表格之變異數，則以相同公式替換即可，惟題目資料缺漏，無法得出唯一數值。
  • 五、解釋與限制：相關係數約0.25，屬低度正相關，表示品質評等較高之餐廳，其餐點價格分數有略高之趨勢，但關聯並不強，判定係數R²≒0.063，價格僅約6%可由品質線性解釋。另X、Y均屬順序尺度（ordinal scale）資料，相關係數僅衡量線性關聯，宜輔以交叉表列百分比、Gamma或Kendall's tau等順序相關統計量佐證，解讀時亦不宜逕行推論因果關係。

第2題

設有一批產品，每1,000 件中平均有一件為不良品。取8,000 件的隨機 樣本，試運用「卜瓦松（Poisson）機率分配近似二項機率分配」的觀念 計算其中不良品少於10 件的機率為何？（10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、分配設定與近似條件：令X為8,000件樣本中之不良品件數，則X~B(n=8000, p=0.001），E(X)=np=8、Var(X)=np(1−p)=7.992。當n很大、p很小且λ=np維持固定（一般p<0.05或np<5）時，二項分配可用Poisson分配近似，即X≒Poisson(λ=8），其機率函數為P(X=k)=e^(−8)·8^k/k!，k=0,1,2,…。
  • 二、機率計算：所求為P(X<10)=P(X≤9)=Σ(k=0到9) e^(−8)·8^k/k!。逐項計算可得P(X=0)=0.000335、P(X=1)=0.002684、P(X=2)=0.010735、P(X=3)=0.028626、P(X=4)=0.057252、P(X=5)=0.091604、P(X=6)=0.122138、P(X=7)=0.139587、P(X=8)=0.139587、P(X=9)=0.124077，累加後約為0.7166（查附表一亦可得相同結果）。
  • 三、結果說明與注意事項：故不良品少於10件之機率約為0.717，即約71.7%。應注意Poisson近似適用於p小而n大之情形，本題np=8雖略大，但因p=0.001極小，近似效果尚佳；另「少於10件」不含10件，故上界取9，切勿誤算為P(X≤10)=0.8159。若以常態近似並作連續性校正，z=(9.5−8)/√7.992=0.53，得機率約0.70，可作為交叉驗證。

第3題

假設臺灣有15%的成年人有抽菸的習慣。今隨機抽出200 位成年的臺灣 人，試問其中至少有35 位成年人有抽菸習慣的機率為何？（10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、分配設定：令X為200位成年人中有抽菸習慣之人數，則X~B(n=200, p=0.15），E(X)=np=30、Var(X)=np(1−p)=200×0.15×0.85=25.5，標準差σ=√25.5≒5.0498。因n大且np、n(1−p)均大於5，可依中央極限定理以常態分配近似二項分配，即X≒N(30, 25.5）。
  • 二、計算過程（含連續性校正）：所求P(X≥35)，以連續性校正取34.5，z=(34.5−30)/5.0498≒0.891，P(X≥35)≒P(Z>0.891)=1−0.8133=0.1867。若不採連續性校正，則z=(35−30)/5.0498≒0.990，機率為1−0.8389=0.1611。兩種作法均可接受，惟採校正者較接近真實二項機率。
  • 三、結果與說明：故至少有35位成年人有抽菸習慣之機率約為0.187（未校正約0.161），即約16%至19%。答題時應明確寫出使用常態近似之理由（np=30、nq=170皆大於5）、校正與否之處理，並說明此為近似值；若要求精確值，須以二項分配累加計算或使用統計軟體求得。

第4題

根據某樣本求得母體平均數μ 的99%信賴區間落在244.051 與255.949 之間。假設母體標準差為σ=12，試問樣本平均數x 及樣本個數n 分別是 多少？（10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、信賴區間之結構：母體標準差σ=12已知，故採Z信賴區間：x̄±z(α/2)·σ/√n。99%信賴區間對應z(0.005)=2.576。信賴區間為對稱於樣本平均數，故區間中心即為x̄，區間半寬（誤差界限）E=z(0.005)·σ/√n。
  • 二、求樣本平均數：區間為[244.051, 255.949]，中心點x̄=(244.051+255.949)/2=500/2=250；半寬E=(255.949−244.051)/2=11.898/2=5.949。故樣本平均數x̄=250元（或250單位）。
  • 三、求樣本個數：由E=2.576×12/√n=5.949，得√n=2.576×12/5.949=30.912/5.949≒5.196，故n≒27.0，取n=27。驗證：12/√27=2.3094，乘以2.576得5.949，與題給半寬相符。結論為x̄=250、n=27（若採z=2.575則n≒26.9，仍取27）。

第5題

某大學調查近年來經濟學系和統計學系的大學部畢業生之平均起薪（月 薪）議題，獲得以下數據訊息： 經濟學系 統計學系 樣本數 n1=10 n2=12 樣本平均數（元） 1x =30,000 2x =30,500 樣本標準差（元） s1=230 s2=250 試計算此兩學系畢業生之起薪差異的95%信賴區間，並解釋之。（10 分） 在α=0.05 顯著水準之下，試檢定此兩學系畢業生之起薪的變異數是否 存在顯著差異。（15 分） 在α=0.05 顯著水準之下，試檢定此兩學系畢業生之平均起薪是否存在 顯著差異。（15 分） （以上 、 皆需正確寫出虛無假設、對立假設、檢定統計量、拒絕域、 P-值、檢定結果與結論。） 附表一： 卜瓦松機率表X ~ Poisson（μ） 附表二： 標準常態機率分布表（左尾機率），例如：P(Z≤1.96)=0.975 附表三： t 機率分布表（右尾機率），例如：P(t25>0.856)=0.20 附表四： F 分布臨界值與對應之機率值，P(F(v1,v2)>Fα(v1,v2))=α F0.1(9, 11)=2.274, F0.05(9, 11)=2.896, F0.025(9, 11)=3.588, F0.01(9, 11)=4.632, F0.005(9, 11)=5.537 F0.1(10, 12)=2.188, F0.05(10, 12)=2.753, F0.025(10, 12)=3.374, F0.01(10, 12)=4.296, F0.005(10, 12)=5.085 F0.1(11, 9)=2.396, F0.05(11, 9)=3.103, F0.025(11, 9)=3.912, F0.01(11, 9)=5.178, F0.005(11, 9)=6.314 F0.1(12, 10)=2.284, F0.05(12, 10)=2.913, F0.025(12, 10)=3.621, F0.01(12, 10)=4.706, F0.005(12, 10)=5.661

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、起薪差異之95%信賴區間（假設兩母體常態且變異數相等）：混合變異數s_p²=[(n1−1)s1²+(n2−1)s2²]/(n1+n2−2)=[9×230²+11×250²]/20=(476,100+687,500)/20=58,180，s_p≒241.20；標準誤SE=s_p·√(1/10+1/12)=241.20×0.42817≒103.28；自由度df=20，t(0.025,20)=2.086。
  • 二、區間計算與解釋：點估計x̄1−x̄2=30,000−30,500=−500；誤差界限=2.086×103.28≒215.4；95%信賴區間為[−715.4, −284.6]。解釋：有95%信心認為經濟學系畢業生平均起薪較統計學系低約285元至715元；因區間不含0，初步顯示兩系平均起薪有實質差異。
  • 三、變異數相等檢定之設定：H0：σ1²=σ2²；H1：σ1²≠σ2²（雙尾）。檢定統計量F=s1²/s2²=230²/250²=52,900/62,500=0.8464，分子自由度v1=9、分母自由度v2=11。α=0.05之拒絕域為F>F(0.025,9,11)=3.588或F<1/F(0.025,11,9)=1/3.912=0.2556。
  • 四、變異數檢定之P值與結論：F=0.8464介於0.2556與3.588之間，未落入拒絕域；P值=2×P(F(9,11)>0.8464)≒2×0.58，超過1故以1計，遠大於α=0.05，故不拒絕H0。結論：無足夠證據顯示兩系畢業生起薪之變異數有顯著差異，故後續均數檢定採混合變異數t檢定尚屬合理。
  • 五、平均起薪差異檢定之設定與計算：H0：μ1=μ2；H1：μ1≠μ2。檢定統計量t=(x̄1−x̄2)/SE=−500/103.28≒−4.842，df=n1+n2−2=20；拒絕域為|t|>t(0.025,20)=2.086。因|−4.842|=4.842>2.086，落入拒絕域，拒絕H0。
  • 六、P值與結論：P值=2×P(t20>4.842)<0.001，遠小於α=0.05，拒絕虛無假設。結論：在5%顯著水準下，兩學系畢業生之平均起薪存在顯著差異，統計學系顯著高於經濟學系約500元。若改採不假設等變異數之Welch檢定，SE≒109.9、t≒−4.55，結論相同，可作為穩健性佐證。