民國114年 地方四等 土木工程 測量學概要
第1題
d c b a 利用全站儀量測一矩形和一直角三角形土地（如下圖所示），矩形土地之 長（a）和寬（b）邊長度分別為300.00±0.04 m 和200.00±0.…
題目
d c b a 利用全站儀量測一矩形和一直角三角形土地（如下圖所示），矩形土地之 長（a）和寬（b）邊長度分別為300.00±0.04 m 和200.00±0.01 m，三角 形土地之股（c）和勾（d）邊長度分別為250.00±0.03 m 和210.00±0.02 m， 且a、b、c、d 觀測量皆不相關。請計算矩形土地、直角三角形土地和兩 土地相加之面積和其標準誤差？（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、誤差傳播基本原理：設觀測量函數 y=f(x₁,…,xₙ)，各 xᵢ 互不相關時，其變方為 σ_y²=Σ(∂f/∂xᵢ)²σ_xᵢ²，標準誤差 σ_y 取平方根。本題 a、b、c、d 皆為獨立觀測量，故無共變項，可直接套用；矩形與三角形之面積亦互不相關，合計時變方可直接相加。
- 二、矩形土地面積：A₁=a×b=300.00×200.00=60000.00 m²。偏導數 ∂A₁/∂a=b=200.00、∂A₁/∂b=a=300.00，故 σ_A₁=√[(200×0.04)²+(300×0.01)²]=√(64+9)=√73≈±8.54 m²，相對精度約 1/7000。
- 三、直角三角形面積：A₂=½×c×d=0.5×250.00×210.00=26250.00 m²。偏導數 ∂A₂/∂c=d/2=105.00、∂A₂/∂d=c/2=125.00，故 σ_A₂=√[(105×0.03)²+(125×0.02)²]=√(9.9225+6.25)=√16.1725≈±4.02 m²。
- 四、兩土地合計面積：A=A₁+A₂=60000.00+26250.00=86250.00 m²，σ_A=√(73+16.1725)=√89.1725≈±9.44 m²，可表示為 86250.00±9.44 m²。若取 95% 信賴水準，擴充不確定度約為 1.96×9.44≈±18.5 m²。
- 五、觀念提醒：標準誤差採「變方相加」而非標準差直接相加，此為常見失分點；僅在觀測量相關時才須加入 2·Cov 項。作答時宜先寫出函數式與偏導式，再代入數值，並保留單位與有效位數，以完整呈現誤差傳播過程。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。