首頁 / 地方四等 土木工程考古題 / 民國114年 地方四等 土木工程 測量學概要 民國114年 地方四等 土木工程 測量學概要考古題
民國114年 地方四等 土木工程 測量學概要收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
d
c
b
a
利用全站儀量測一矩形和一直角三角形土地（如下圖所示），矩形土地之
長（a）和寬（b）邊長度分別為300.00±0.04 m 和200.00±0.01 m，三角
形土地之股（c）和勾（d）邊長度分別為250.00±0.03 m 和210.00±0.02 m，
且a、b、c、d 觀測量皆不相關。請計算矩形土地、直角三角形土地和兩
土地相加之面積和其標準誤差？（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、誤差傳播基本原理：設觀測量函數 y=f(x₁,…,xₙ)，各 xᵢ 互不相關時，其變方為 σ_y²=Σ(∂f/∂xᵢ)²σ_xᵢ²，標準誤差 σ_y 取平方根。本題 a、b、c、d 皆為獨立觀測量，故無共變項，可直接套用；矩形與三角形之面積亦互不相關，合計時變方可直接相加。 二、矩形土地面積：A₁=a×b=300.00×200.00=60000.00 m²。偏導數 ∂A₁/∂a=b=200.00、∂A₁/∂b=a=300.00，故 σ_A₁=√[(200×0.04)²+(300×0.01)²]=√(64+9)=√73≈±8.54 m²，相對精度約 1/7000。 三、直角三角形面積：A₂=½×c×d=0.5×250.00×210.00=26250.00 m²。偏導數 ∂A₂/∂c=d/2=105.00、∂A₂/∂d=c/2=125.00，故 σ_A₂=√[(105×0.03)²+(125×0.02)²]=√(9.9225+6.25)=√16.1725≈±4.02 m²。 四、兩土地合計面積：A=A₁+A₂=60000.00+26250.00=86250.00 m²，σ_A=√(73+16.1725)=√89.1725≈±9.44 m²，可表示為 86250.00±9.44 m²。若取 95% 信賴水準，擴充不確定度約為 1.96×9.44≈±18.5 m²。 五、觀念提醒：標準誤差採「變方相加」而非標準差直接相加，此為常見失分點；僅在觀測量相關時才須加入 2·Cov 項。作答時宜先寫出函數式與偏導式，再代入數值，並保留單位與有效位數，以完整呈現誤差傳播過程。
閉合導線如下圖所示。已知點A 到點4 之方位角߮4=125°15ᇱ30ᇱᇱ，圖中
各內角觀測量均已完成閉合差改正，請計算各邊之方位角߮4、߮1、߮12、
߮23及߮34？（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、方位角定義與傳算原理：方位角（azimuth）係自北方起順時針量至測線之水平角，範圍 0°～360°。閉合導線相鄰邊之方位角可由內角逐點傳算，常用式為 φ(i,i+1)=φ(i-1,i)+180°+β，其中 β 為位於前進方向左側之內角；若內角位於右側，則改取 φ(i,i+1)=φ(i-1,i)+180°−β，計算結果須化為 0°～360°。 二、已知條件與反方位角：題給 φ_A4=125°15′30″，則其反方位角 φ_4A=125°15′30″+180°=305°15′30″，此為後續由 A 點傳算至 1 點之起始方向，亦是本題唯一可直接求得之數值。 三、各邊方位角之求法：φ_A1 應由 φ_4A 配合 A 點之內角傳算，φ_12、φ_23、φ_34 則分別由 1、2、3 點之內角依序傳算。惟題目僅附圖而未於文字列出各內角觀測值，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；考生應在答案中明確寫出此一限制，不可自行假設角度。 四、作答示範格式：設 A 點內角為 β_A，則 φ_A1=φ_4A+180°+β_A（mod 360°）；同理 φ_12=φ_A1+180°+β_1、φ_23=φ_12+180°+β_2、φ_34=φ_23+180°+β_3。每步均應列出算式、代入角度並註明加減 360° 之化簡過程，最後以閉合條件回歸 φ_4A 檢核。 五、檢核與注意事項：五邊形內角和應為 (n−2)×180°=540°，可用以檢核內角觀測；傳算過程須注意左角、右角之判定方向一致，秒數進位不可隨意捨去。若考場可讀取圖面角度，應先抄錄各內角再依上述公式逐邊計算，並標明正逆時針方向。
工程實務上，當河道寬度超過100 m 時，建議採用對向水準測量，亦稱
渡河水準測量。請說明對向水準測量施行步驟和高程差計算公式，並列
出此法可消除或減低之誤差。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、定義與適用時機：對向水準測量（reciprocal leveling）又稱渡河水準測量，用於河道寬度超過 100 m、單一測站前後視距差過大，致地球曲率與大氣折光影響顯著之情形。作法係於兩岸分別設站、互相觀測對岸水準尺，再取兩組觀測之平均以求得高程差。 二、儀器設置與施行步驟：第一步於 A 岸緊鄰 A 尺處設站，整置水準儀並定平，讀近尺 A 之讀數 a₁ 與遠尺 B 之讀數 b₁；第二步將儀器搬至 B 岸緊鄰 B 尺處設站，同樣定平後讀近尺 B 之讀數 b₂ 與遠尺 A 之讀數 a₂。全程水準尺固定不動，兩站均使前後視距儘量相等。 三、高程差計算公式：Δh_AB=h_B−h_A=½[(a₁−b₁)+(a₂−b₂)]；亦可寫為 h_B−h_A=(a₁+a₂)/2−(b₁+b₂)/2。若兩岸各作多次觀測，則先取各尺讀數平均值再代入，以降低讀數偶然誤差。 四、可消除或減低之誤差：因兩站觀測方向相反，地球曲率（curvature）與大氣折光（refraction）之影響在平均後相互抵消；視準軸不平行於水準管軸之 i 角誤差（collimation error）亦可消除；儀器定平殘餘誤差、望遠鏡解析力造成之照準與讀數誤差則可部分減低。 五、無法消除之誤差與注意事項：水準尺零點誤差、尺身傾斜與彎曲、尺底下沉、估讀誤差及大氣湍流造成之瞬間折光變化，均無法藉對向觀測消除，須以尺墊、扶尺器及縮短觀測時間控制。施測時宜記錄溫濕度與風速，並避免正午強烈對流時段。
請列出並說明GPS 虛擬距離定位原理之觀測方程式，並說明有那些誤
差。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、定位原理：GPS 採單向測距（one-way ranging），衛星於已知時刻發射載波與測距碼，接收儀依訊號到達時間差乘以光速求得距離。因接收儀鐘差、衛星鐘差及大氣延遲均含於其中，故稱虛擬距離（pseudorange），其定位方式稱為虛擬距離定位。 二、觀測方程式：P=ρ+c(dt_r−dt^s)+I+T+ε_P，其中 P 為虛擬距離，c 為光速，dt_r 為接收儀鐘差，dt^s 為衛星鐘差，I 為電離層延遲（ionospheric delay），T 為對流層延遲（tropospheric delay），ε_P 為觀測雜訊。幾何距離 ρ=√[(X^s−X_r)²+(Y^s−Y_r)²+(Z^s−Z_r)²]。 三、線性化與求解：以近似坐標 (X₀,Y₀,Z₀) 對 ρ 作泰勒展開，得 P=ρ₀+[(X₀−X^s)/ρ₀]dX+[(Y₀−Y^s)/ρ₀]dY+[(Z₀−Z^s)/ρ₀]dZ+c·dt_r−c·dt^s+I+T。未知數為 dX、dY、dZ 與 dt_r 共四個，故至少需同時觀測四顆衛星方可聯立求解，並以最小二乘法迭代收斂。 四、衛星端誤差：包括衛星鐘差（可以導航訊息之鐘差改正參數修正）、衛星星曆或軌道誤差（ephemeris error）、相對論效應，以及早期之選擇可用性（Selective Availability, SA，已於 2000 年關閉）與反欺騙（A-S）等政策性或人為干擾。 五、傳播路徑與接收端誤差：電離層延遲可用雙頻（L1/L2）無電離層組合消去，對流層延遲多以模型（如 Saastamoinen）改正；多路徑效應（multipath）須以仰角遮罩、抑徑天線改善；另有天線相位中心偏差、接收儀鐘差與觀測雜訊。採差分定位（DGPS）或相對定位可大幅削弱衛星鐘差、軌道誤差等共同誤差。