民國112年 地方四等 測量製圖 測量平差法概要
第5題
在某測邊網中，設待定點 1P的坐標為未知參數，即 T ˆ = X Y X ，平差後 得到ˆX 的協因數矩陣為 ˆ ˆ 0.25 0.15 Q = 0.15 0.…
題目
在某測邊網中，設待定點 1P的坐標為未知參數，即 T ˆ = X Y X ，平差後 得到ˆX 的協因數矩陣為 ˆ ˆ 0.25 0.15 Q = 0.15 0.75 XX ，且單位權變方 0ˆ =3.0 cm ， 試計算 1P點縱、橫坐標中誤差和點位中誤差。（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、已知條件：待定點 P1 之坐標未知參數 X̂＝[X Y]ᵀ，其協因數矩陣（cofactor matrix）Q_XX＝[[0.25,0.15],[0.15,0.75]]，單位權變方 σ0²＝(3.0 cm)²＝9.0 cm²。協變方矩陣 Σ_XX＝σ0²·Q_XX。
- 二、求協變方矩陣：σX²＝9.0×0.25＝2.25 cm²；σY²＝9.0×0.75＝6.75 cm²；σXY＝9.0×0.15＝1.35 cm²。此步驟即所謂「協因數矩陣乘上單位權變方」，為後續求中誤差之基礎。
- 三、縱、橫坐標中誤差：縱坐標中誤差 σX＝√2.25＝1.50 cm；橫坐標中誤差 σY＝√6.75≒2.598 cm，約 2.60 cm。顯示該點橫方向精度較縱方向為差。
- 四、點位中誤差（point error）：σP＝√(σX²＋σY²)＝√(2.25＋6.75)＝√9.00＝3.00 cm；亦可由 σP＝σ0·√(q11＋q22)＝3.0×√(0.25＋0.75)＝3.0×1＝3.00 cm，兩式結果一致，可作為檢核。
- 五、補充說明：由 Σ_XX 之特徵值 λ＝[(2.25＋6.75)±√(4.5²＋4×1.35²)]／2＝(9±5.248)／2，得 λ1≒7.124、λ2≒1.876，誤差橢圓（error ellipse）長短半軸約 2.67 cm 與 1.37 cm，可知點位精度具方向性。答題時應寫出公式、代入值與單位。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。