首頁 / 地方四等 測量製圖考古題 / 民國112年 地方四等 測量製圖 測量平差法概要 民國112年 地方四等 測量製圖 測量平差法概要考古題
民國112年 地方四等 測量製圖 測量平差法概要收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
某角度重複施測7 次，經平差計算分析得誤差值分別為 3"、+2"、 1"、
0"、+3"、+2"、 2"，試計算此測量成果之中誤差及平均誤差。（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、題意與基本量：7 次觀測之誤差（殘差）v 的絕對值為 3、2、1、0、3、2、2（秒），題面雖有部分正負號不清楚，但中誤差取平方、平均誤差取絕對值，符號不影響結果；觀測次數 n＝7。 二、平均誤差（mean error，又稱平均偏差）：Σ|v|＝3＋2＋1＋0＋3＋2＋2＝13 秒，平均誤差＝13÷7≒1.857 秒，約 1.86 秒。其意義是各觀測值偏離最或是值（平均値）之平均量，屬線性尺度之精度指標。 三、中誤差（mean square error，均方誤差）：Σv²＝9＋4＋1＋0＋9＋4＋4＝31，σ＝√(31÷7)＝√4.4286≒2.104 秒，約 2.10 秒。此即一般所稱中誤差（標準誤差），因平方後放大較大誤差，故數值恆大於平均誤差。 四、若採白塞爾公式（Bessel's formula）以 n−1 為自由度：σ＝√(31÷6)＝√5.1667≒2.273 秒，約 2.27 秒。理由在於母體平均未知、以觀測平均值代替時損失一個自由度；題目既稱「經平差計算分析得誤差值」，屬殘差性質，宜用 n−1 並加註說明。 五、結論與檢核：平均誤差約 1.86 秒，中誤差約 2.10 秒（採 n−1 則約 2.27 秒）。理論上平均誤差≒0.798σ，本例 0.798×2.104≒1.68 秒，與 1.86 秒略有出入，係樣本數僅 7 次所致；答題時應列出 Σ|v|、Σv² 之計算式，以示步驟完整。
某聯立方程式如下，試依高斯消去法（高斯約化法）解算3 未知參數（無
解算步驟不予計分）。（20 分）
x
y
z
x
y
z
x
y
z
參考解答（AI 生成，非官方） 一、題意與資料狀況：題面僅顯示未知參數 x、y、z，三個聯立方程式之係數與常數項並未呈現，屬題目資料缺漏，無法得出唯一數值。考生應依原卷所附三式係數，按下列步驟實際演算，並完整寫出每一步驟。 二、高斯消去法（Gaussian elimination，高斯約化法）原理：將方程組寫成增廣矩陣 [A|b]，利用列運算（row operation）化為上三角矩陣，再由下而上回代（back substitution）求解。合法列運算包括：互換兩列、某列乘一非零常數、某列加上另一列之倍數。 三、消去步驟：設方程組為 a11x＋a12y＋a13z＝b1、a21x＋a22y＋a23z＝b2、a31x＋a32y＋a33z＝b3。第一步以第一列消去第二、三列之 x 項，乘數 m21＝a21/a11、m31＝a31/a11；第二步以化簡後之第二列消去第三列之 y 項，乘數 m32＝a32'/a22'，得三角化方程組。 四、回代求解：由第三式得 z＝b3''/a33''，代回第二式得 y＝(b2'−a23'z)/a22'，再代回第一式得 x＝(b1−a12y−a13z)/a11。若主對角元素為零須先換列（pivoting）以避免除零；若 a33''＝0 且 b3''≠0 表無解，兩者同時為 0 表無窮多解。 五、答題提醒：務必逐列寫出增廣矩陣、乘數與化簡結果，並將 x、y、z 代回原式檢核殘差是否為零，否則「無解算步驟不予計分」。本題因係數與常數項缺漏，僅能提供方法與判定規則，無法算出唯一數值。
測量作業因受儀器、人為及環境因素之影響造成觀測值含有誤差，測量
平差法的目的之一即是處理與分析這些誤差。一般而言，依照行為來區
分測量誤差的種類可分為那幾種？（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、總說：測量誤差若依「行為」（即誤差表現之性質與規律）區分，一般分為系統誤差（systematic error）、隨機誤差（random error，又稱偶然誤差）與粗差（gross error，又稱錯誤、blunder）三類；前兩類屬觀測本質上不可避免之不確定性，粗差則屬人為疏失，應予剔除。 二、系統誤差：肇因於儀器未校正（如度盤偏心、水準儀視準軸誤差）、尺長偏差、大氣折光、地球曲率與投影改正等因素，其大小與符號具固定規律，不因重複觀測而相互抵銷，故又稱累積誤差。可藉儀器檢定校正、加入改正數（correction）、對向觀測、正倒鏡觀測或差分觀測予以消除。 三、隨機誤差：源自儀器靈敏度限制、人為照準與讀數之微小差異、氣溫風力等不可控制因素，其大小與符號呈隨機分布，大量觀測時近似常態分布（normal distribution），且具抵銷性。可藉重複觀測取平均減小，平均值之中誤差隨觀測次數平方根（√n）而降低。 四、粗差（錯誤）：如讀錯分劃、記錯數值、觀測錯目標、輸入錯誤等，屬人為疏失，不具統計規律且無法以平差消除。可藉重複觀測、閉合差檢核、多餘觀測配合最小二乘法之殘差分析（如 3σ 法則、Baarda data snooping）偵測並剔除後重算。 五、比較與應用：系統誤差影響準確度（accuracy，正確度），隨機誤差影響精密度（precision），粗差則使成果完全失真。平差作業之正確順序為：先檢定改正消除系統誤差、再偵測剔除粗差、最後以最小二乘法處理隨機誤差，方能獲得可靠之最或是值。
相關係數表示兩個隨機變數間的線性相關程度，設隨機變數x、y、z 的
變方－協變方矩陣為
∑=
1
1
4
4
試求相關係數
xy
xz
yz
、
、
。（計算至小數後第3 位）（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、資料狀況：題面之變方—協變方矩陣（variance-covariance matrix）數值僅殘留「1、1、4、4」，矩陣各元素無法辨識，屬題目資料缺漏，無法得出唯一數值。以下列出公式與步驟，考生依原卷矩陣代入即可求解。 二、定義與公式：相關係數 ρxy＝σxy／(σx·σy)，其中 σxy 為矩陣中 x 列 y 行之協變方（covariance），σx＝√σxx、σy＝√σyy 分別為對角線變方開根號所得之標準差。ρ 值介於 −1 與 ＋1 之間，無因次，用以衡量線性相關程度。 三、計算步驟：設 Σ＝[[σxx,σxy,σxz],[σxy,σyy,σyz],[σxz,σyz,σzz]]，(1) 對角線元素開根號得 σx、σy、σz；(2) 非對角元素即為分子之協變方；(3) 分別代入 ρxy、ρxz、ρyz 三式；(4) 計算至小數第 3 位並四捨五入；(5) 檢核 |ρ|≦1、矩陣對稱且為正定（positive definite）。 四、假設示例（僅示範方法，非本題答案）：若矩陣為對角線均為 4、非對角線均為 1 之形式，則 σx＝σy＝σz＝2，ρxy＝ρxz＝ρyz＝1／(2×2)＝0.250。實際數值仍須以原卷所載矩陣逐項計算，不可直接套用。 五、意義與限制：相關係數僅反映線性關係，ρ＝0 不代表兩變數獨立；相關亦不等於因果。協變方矩陣須為正定方可反算，若出現 |ρ|＞1 表示矩陣設定有誤。答題時應完整寫出公式、代入數值與三位小數結果，以取得步驟分。
在某測邊網中，設待定點
1P的坐標為未知參數，即
T
ˆ = X
Y
X
，平差後
得到ˆX 的協因數矩陣為
ˆ ˆ
0.25
0.15
Q
= 0.15
0.75
XX
，且單位權變方
0ˆ =3.0 cm
，
試計算
1P點縱、橫坐標中誤差和點位中誤差。（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、已知條件：待定點 P1 之坐標未知參數 X̂＝[X Y]ᵀ，其協因數矩陣（cofactor matrix）Q_XX＝[[0.25,0.15],[0.15,0.75]]，單位權變方 σ0²＝(3.0 cm)²＝9.0 cm²。協變方矩陣 Σ_XX＝σ0²·Q_XX。 二、求協變方矩陣：σX²＝9.0×0.25＝2.25 cm²；σY²＝9.0×0.75＝6.75 cm²；σXY＝9.0×0.15＝1.35 cm²。此步驟即所謂「協因數矩陣乘上單位權變方」，為後續求中誤差之基礎。 三、縱、橫坐標中誤差：縱坐標中誤差 σX＝√2.25＝1.50 cm；橫坐標中誤差 σY＝√6.75≒2.598 cm，約 2.60 cm。顯示該點橫方向精度較縱方向為差。 四、點位中誤差（point error）：σP＝√(σX²＋σY²)＝√(2.25＋6.75)＝√9.00＝3.00 cm；亦可由 σP＝σ0·√(q11＋q22)＝3.0×√(0.25＋0.75)＝3.0×1＝3.00 cm，兩式結果一致，可作為檢核。 五、補充說明：由 Σ_XX 之特徵值 λ＝[(2.25＋6.75)±√(4.5²＋4×1.35²)]／2＝(9±5.248)／2，得 λ1≒7.124、λ2≒1.876，誤差橢圓（error ellipse）長短半軸約 2.67 cm 與 1.37 cm，可知點位精度具方向性。答題時應寫出公式、代入值與單位。