民國112年 地方四等 測量製圖 測量平差法概要
第4題
相關係數表示兩個隨機變數間的線性相關程度，設隨機變數x、y、z 的 變方－協變方矩陣為 ∑= 1 1 4 4 試求相關係數 xy xz yz 、 、 。（計…
題目
相關係數表示兩個隨機變數間的線性相關程度，設隨機變數x、y、z 的 變方－協變方矩陣為 ∑= 1 1 4 4 試求相關係數 xy xz yz 、 、 。（計算至小數後第3 位）（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、資料狀況：題面之變方—協變方矩陣（variance-covariance matrix）數值僅殘留「1、1、4、4」，矩陣各元素無法辨識，屬題目資料缺漏，無法得出唯一數值。以下列出公式與步驟，考生依原卷矩陣代入即可求解。
- 二、定義與公式：相關係數 ρxy＝σxy／(σx·σy)，其中 σxy 為矩陣中 x 列 y 行之協變方（covariance），σx＝√σxx、σy＝√σyy 分別為對角線變方開根號所得之標準差。ρ 值介於 −1 與 ＋1 之間，無因次，用以衡量線性相關程度。
- 三、計算步驟：設 Σ＝[[σxx,σxy,σxz],[σxy,σyy,σyz],[σxz,σyz,σzz]]，(1) 對角線元素開根號得 σx、σy、σz；(2) 非對角元素即為分子之協變方；(3) 分別代入 ρxy、ρxz、ρyz 三式；(4) 計算至小數第 3 位並四捨五入；(5) 檢核 |ρ|≦1、矩陣對稱且為正定（positive definite）。
- 四、假設示例（僅示範方法，非本題答案）：若矩陣為對角線均為 4、非對角線均為 1 之形式，則 σx＝σy＝σz＝2，ρxy＝ρxz＝ρyz＝1／(2×2)＝0.250。實際數值仍須以原卷所載矩陣逐項計算，不可直接套用。
- 五、意義與限制：相關係數僅反映線性關係，ρ＝0 不代表兩變數獨立；相關亦不等於因果。協變方矩陣須為正定方可反算，若出現 |ρ|＞1 表示矩陣設定有誤。答題時應完整寫出公式、代入數值與三位小數結果，以取得步驟分。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。