民國110年 地方四等 交通技術 統計學概要
第4題
一電池製造商宣稱其生產之電池充電後可讓電動車行駛超過500 公 里，購買者懷疑製造商之宣稱過於誇張。若已知行駛里程數為常態分 配，且標準差為26 公里，今抽驗2…
題目
一電池製造商宣稱其生產之電池充電後可讓電動車行駛超過500 公 里，購買者懷疑製造商之宣稱過於誇張。若已知行駛里程數為常態分 配，且標準差為26 公里，今抽驗25 部電動車，得其樣本平均數為 490 公里，在1%之顯著水準下，欲檢定電池製造商之宣稱是否合理。 試寫出虛無假設與對立假設。（5 分） 試寫出檢定統計量及結論。（10 分） 若樣本增加為49 部，樣本平均數仍為490 公里，試檢定電池製造 商之宣稱是否合理。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設μ為電池充電後平均可行駛里程。製造商宣稱μ超過500公里，購買者懷疑宣稱誇大，故採左尾檢定：H0：μ≥500公里；H1：μ<500公里。檢定統計量為Z=(X̄-μ0)/(σ/√n)，其中σ=26、μ0=500；在H0邊界μ=500下，Z近似標準常態分配。
- 二、n=25時，標準誤為26/√25=5.2，Z=(490-500)/5.2=-1.923。α=0.01的左尾臨界值為-2.326；因-1.923>-2.326，未落入拒絕域，故不拒絕H0。結論：在1%顯著水準下，尚無足夠證據證明平均里程低於500公里，不能據此認定製造商宣稱不合理。p值約0.027。
- 三、n=49時，標準誤為26/√49=3.714，Z=(490-500)/3.714=-2.692。因-2.692<-2.326，落入左尾拒絕域，故拒絕H0。結論：在1%顯著水準下，有足夠證據顯示平均里程小於500公里，製造商「超過500公里」的宣稱較不成立；p值約0.0036。
- 四、此題使用母體標準差已知的Z檢定，並假設行駛里程為常態分配、樣本為隨機抽樣。樣本數由25增至49，標準誤由5.2降為3.714，檢定力提高，因此同一樣本平均數490公里在較大樣本下才達到1%顯著水準。
- 五、作答時應注意假設方向：若把H1寫成μ>500，則檢定統計量雖同為負值，卻不會拒絕H0，與「購買者懷疑誇大」的題意不符。另須區分「不拒絕H0」不等於「證明μ≥500」，只能說資料不足以否定該宣稱。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。