參考值： z0.006=2.51，z0.01=2.33，z0.025=1.96，z0.05=1.65，z0.1=1.28， t0.025, 8=2.31，t0.…

題目

參考值： z0.006=2.51，z0.01=2.33，z0.025=1.96，z0.05=1.65，z0.1=1.28， t0.025, 8=2.31，t0.025, 9=2.26，t0.05, 8=1.86，t0.05, 9 =1.83， χ3, 0.025 =9.35，χ4, 0.025 =11.14，χ5, 0.025 =12.83，χ3, 0.05 =7.81，χ4, 0.05 =9.49，χ5, 0.05 =11.07 χ3, 0.1 =6.25，χ4, 0.1 =7.78，χ5, 0.1 =9.24 X 族人之平均身高為160 公分，標準差為10 公分。某製造商欲生產一 款長度為200 公分之床墊。假設床墊之長度必須比身長多出至少15 公 分方能讓使用者感覺舒適。 若不知X 族人身高之分配為何，試問約有多少比例族人使用此床墊感 覺舒適？（10 分） 若X 族人之身高服從常態分配，試問感覺舒適之比例為何？（10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、判定條件與問題轉化：床墊長 200 公分，須比身高至少多 15 公分，即 200 − X ≥ 15，等價於 X ≤ 185 公分。因此「感覺舒適的比例」就是 P(X ≤ 185)。已知 μ = 160、σ = 10，而 185 = μ + 2.5σ，故本題實為求身高不超過平均數 2.5 個標準差的機率。
• 二、不知分配時使用柴比雪夫不等式（Chebyshev's inequality）：P(|X − μ| ≥ kσ) ≤ 1/k²。取 k = 2.5，得 P(X ≥ 185) ≤ 1/6.25 = 0.16，故舒適比例至少 84%。若採單尾的坎特利不等式（Cantelli's inequality）P(X − μ ≥ kσ) ≤ 1/(1 + k²) = 1/7.25 ≈ 0.138，可得較緊的下限約 86.2%。
• 三、常態假設下改採標準常態：Z = (185 − 160)/10 = 2.5，P(X ≤ 185) = P(Z ≤ 2.5) = 0.9938，即約 99.38% 的族人使用此床墊會感到舒適，不舒適者僅約 0.62%。此為點估計值，非區間。
• 四、比較與答題提醒：不知分配時只能得到「下限」，結論保守且資訊不足；常態假設下可算出明確比例。由於身高通常近似常態，99.38% 較貼近實務；若分配右偏（少數特高者），實際舒適比例會低於此值。作答時務必寫出不等式方向、k 值來源與所用的分配假設，並註明「不知分配」情境下不得直接套用常態機率。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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