民國110年 普通考試 統計 統計學概要
第2題
甲公司有4 名員工，月薪分別為4 萬、6 萬、8 萬、8 萬。經由簡單計算 已經求出母體平均數(ߤ)為6.5 萬，母體變異數(ߪଶ)為2.75 萬。今擬以抽 後…
題目
甲公司有4 名員工，月薪分別為4 萬、6 萬、8 萬、8 萬。經由簡單計算 已經求出母體平均數(ߤ)為6.5 萬，母體變異數(ߪଶ)為2.75 萬。今擬以抽 後不放回的方式抽取2 名員工，得樣本平均數 ܺതଶ。將 ܺതଶ的平均數與變 異數分別記為ߤതమ與(ߪതమ)ଶ。 試寫出ܺതଶ之機率分配，並依此計算ߤതమ與(ߪതమ)ଶ。（10 分） 假設母體個數為N，以抽後不放回的方式抽取n個值，將樣本平均數之 變異數記為(ߪത)ଶ。在考量有限母體修正係數之下，試寫出(ߪത)ଶ與ߪଶ 之關係式。（5 分） 當樣本數n遠小於母體數N時，試問 中之修正係數近似何值？（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、樣本平均數的抽樣分配：母體為 4、6、8、8（萬元），N = 4、n = 2 且抽後不放回，可能的樣本組合共 C(4,2) = 6 組，每組機率均為 1/6。各組樣本平均數依序為 (4,6)→5、(4,8)→6、(4,8)→6、(6,8)→7、(6,8)→7、(8,8)→8。故 X̄₂ 為離散型分配，P(X̄₂ = 5) = 1/6、P(= 6) = 2/6、P(= 7) = 2/6、P(= 8) = 1/6。
- 二、平均數：E(X̄₂) = (5 + 6×2 + 7×2 + 8)/6 = 39/6 = 6.5 萬元，與母體平均數 μ 相同，顯示在簡單隨機抽樣下樣本平均數為 μ 的不偏估計量（unbiased estimator）。
- 三、變異數：E(X̄₂²) = (25 + 36×2 + 49×2 + 64)/6 = 259/6 ≈ 43.167，故 Var(X̄₂) = 43.167 − 6.5² = 0.9167，即 11/12。以公式驗算 (σ²/n)·[(N − n)/(N − 1)] = (2.75/2)×(2/3) = 0.9167，兩者相符。
- 四、一般關係式：Var(X̄_n) = (σ²/n)·[(N − n)/(N − 1)]，其中 (N − n)/(N − 1) 稱為有限母體修正係數（finite population correction factor, FPC）。由於 N − n < N − 1，修正係數恆小於 1，故不放回抽樣的變異數必小於放回抽樣。
- 五、當 n 遠小於 N 時：FPC = (N − n)/(N − 1) ≈ N/N = 1，此時 Var(X̄_n) ≈ σ²/n，與無限母體（或放回抽樣）的結果一致，亦即母體大小對估計精度的影響可忽略。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。