民國110年 普通考試 統計 統計學概要考古題
民國110年 普通考試 統計 統計學概要收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
參考值：
z0.006=2.51，z0.01=2.33，z0.025=1.96，z0.05=1.65，z0.1=1.28，
t0.025, 8=2.31，t0.025, 9=2.26，t0.05, 8=1.86，t0.05, 9 =1.83，
χ3, 0.025
=9.35，χ4, 0.025
=11.14，χ5, 0.025
=12.83，χ3, 0.05
=7.81，χ4, 0.05
=9.49，χ5, 0.05
=11.07
χ3, 0.1
=6.25，χ4, 0.1
=7.78，χ5, 0.1
=9.24
X 族人之平均身高為160 公分，標準差為10 公分。某製造商欲生產一
款長度為200 公分之床墊。假設床墊之長度必須比身長多出至少15 公
分方能讓使用者感覺舒適。
若不知X 族人身高之分配為何，試問約有多少比例族人使用此床墊感
覺舒適？（10 分）
若X 族人之身高服從常態分配，試問感覺舒適之比例為何？（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、判定條件與問題轉化：床墊長 200 公分，須比身高至少多 15 公分，即 200 − X ≥ 15，等價於 X ≤ 185 公分。因此「感覺舒適的比例」就是 P(X ≤ 185)。已知 μ = 160、σ = 10，而 185 = μ + 2.5σ，故本題實為求身高不超過平均數 2.5 個標準差的機率。
- 二、不知分配時使用柴比雪夫不等式（Chebyshev's inequality）：P(|X − μ| ≥ kσ) ≤ 1/k²。取 k = 2.5，得 P(X ≥ 185) ≤ 1/6.25 = 0.16，故舒適比例至少 84%。若採單尾的坎特利不等式（Cantelli's inequality）P(X − μ ≥ kσ) ≤ 1/(1 + k²) = 1/7.25 ≈ 0.138，可得較緊的下限約 86.2%。
- 三、常態假設下改採標準常態：Z = (185 − 160)/10 = 2.5，P(X ≤ 185) = P(Z ≤ 2.5) = 0.9938，即約 99.38% 的族人使用此床墊會感到舒適，不舒適者僅約 0.62%。此為點估計值，非區間。
- 四、比較與答題提醒：不知分配時只能得到「下限」，結論保守且資訊不足；常態假設下可算出明確比例。由於身高通常近似常態，99.38% 較貼近實務；若分配右偏（少數特高者），實際舒適比例會低於此值。作答時務必寫出不等式方向、k 值來源與所用的分配假設，並註明「不知分配」情境下不得直接套用常態機率。
甲公司有4 名員工，月薪分別為4 萬、6 萬、8 萬、8 萬。經由簡單計算
已經求出母體平均數(ߤ)為6.5 萬，母體變異數(ߪଶ)為2.75 萬。今擬以抽
後不放回的方式抽取2 名員工，得樣本平均數 ܺതଶ。將 ܺതଶ的平均數與變
異數分別記為ߤതమ與(ߪതమ)ଶ。
試寫出ܺതଶ之機率分配，並依此計算ߤതమ與(ߪതమ)ଶ。（10 分）
假設母體個數為N，以抽後不放回的方式抽取n個值，將樣本平均數之
變異數記為(ߪത)ଶ。在考量有限母體修正係數之下，試寫出(ߪത)ଶ與ߪଶ
之關係式。（5 分）
當樣本數n遠小於母體數N時，試問 中之修正係數近似何值？（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、樣本平均數的抽樣分配：母體為 4、6、8、8（萬元），N = 4、n = 2 且抽後不放回，可能的樣本組合共 C(4,2) = 6 組，每組機率均為 1/6。各組樣本平均數依序為 (4,6)→5、(4,8)→6、(4,8)→6、(6,8)→7、(6,8)→7、(8,8)→8。故 X̄₂ 為離散型分配，P(X̄₂ = 5) = 1/6、P(= 6) = 2/6、P(= 7) = 2/6、P(= 8) = 1/6。
- 二、平均數：E(X̄₂) = (5 + 6×2 + 7×2 + 8)/6 = 39/6 = 6.5 萬元，與母體平均數 μ 相同，顯示在簡單隨機抽樣下樣本平均數為 μ 的不偏估計量（unbiased estimator）。
- 三、變異數：E(X̄₂²) = (25 + 36×2 + 49×2 + 64)/6 = 259/6 ≈ 43.167，故 Var(X̄₂) = 43.167 − 6.5² = 0.9167，即 11/12。以公式驗算 (σ²/n)·[(N − n)/(N − 1)] = (2.75/2)×(2/3) = 0.9167，兩者相符。
- 四、一般關係式：Var(X̄_n) = (σ²/n)·[(N − n)/(N − 1)]，其中 (N − n)/(N − 1) 稱為有限母體修正係數（finite population correction factor, FPC）。由於 N − n < N − 1，修正係數恆小於 1，故不放回抽樣的變異數必小於放回抽樣。
- 五、當 n 遠小於 N 時：FPC = (N − n)/(N − 1) ≈ N/N = 1，此時 Var(X̄_n) ≈ σ²/n，與無限母體（或放回抽樣）的結果一致，亦即母體大小對估計精度的影響可忽略。
甲乙丙為三名職棒左打者，下表為去年此三名打者面對左投手與右投手
時之表現。
打數（左投）安打數（左投）
打數（右投）
安打數（右投）
甲
乙
丙
棒球打擊率之計算公式如下：打擊率＝安打數/打數
試分別計算甲乙丙於左投時之打擊率的95%信賴區間，並依此兩兩比
較（甲、乙）、（乙、丙）、（甲、丙）面對左投手時之打擊率是否不同？
（10 分）
在顯著水準0.1 下，試檢定甲打者面對左投與右投時，打擊率是否不同？
（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、單一打者信賴區間的通式：設打數 n、安打數 x，打擊率 p̂ = x/n。大樣本下 95% 信賴區間為 p̂ ± z₀.₀₂₅·√[p̂(1 − p̂)/n]，其中 z₀.₀₂₅ = 1.96。使用常態近似的判別規則為 np̂ ≥ 5 且 n(1 − p̂) ≥ 5；若不符，應改用 Clopper-Pearson 精確法或 Wilson score 區間。
- 二、資料缺漏說明：題幹表格中「打數（左投）、安打數（左投）、打數（右投）、安打數（右投）」之數值均未載明，故無法代入求得甲、乙、丙三人的點估計與區間端點。題目資料缺漏，無法得出唯一數值；考生僅能列出公式、代入步驟與判定規則。
- 三、兩兩比較的方法：檢定 H₀：p_i = p_j，採合併比例 p̂ = (x_i + x_j)/(n_i + n_j)，統計量 z = (p̂_i − p̂_j)/√[p̂(1 − p̂)(1/n_i + 1/n_j)]；在 α = 0.05 下，若 |z| > 1.96 則判定兩人之左投打擊率顯著不同。若以信賴區間是否重疊判斷，重疊代表不顯著，但此法較保守、檢定力較低，宜註明其限制。
- 四、左投與右投之比較（α = 0.1）：同一打者面對左投與右投屬不同打席，可視為兩組獨立樣本，檢定 H₀：p_左 = p_右，統計量 z = (p̂_左 − p̂_右)/√[p̂(1 − p̂)(1/n_左 + 1/n_右)]，臨界值 z₀.₀₅ = 1.645；若 |z| > 1.645 則拒絕 H₀，認定打擊率不同。若題目提供的是逐場配對資料，則須改採 McNemar 檢定。
- 五、作答提醒：應先檢查樣本數是否足夠支持常態近似，並清楚標示虛無假設、對立假設（單尾或雙尾）、檢定統計量、臨界值與結論；在數值缺漏時，須明確寫出所需資料為各打者的打數與安打數。
A 辦事處使用抽號機供訪客抽取號碼，並使用叫號機呼叫訪客前往櫃檯
接受服務。根據過去一週抽號機與叫號機之紀錄，製作訪客到訪之等候
時間（分鐘）與人次如下：
等候時間
（0, 5）
[5, 10）
[10, 15）
[15, 20）
[20, 30）
人次
試求平均等候時間。（5 分）
在顯著水準0.1 下，試檢定等候時間是否服從指數分配。（期望值為ߣ
的指數分配之機率密度函數為݂(ݔ) = (1/ߣ)݁ି௫/ఒ, ݔ≥0；累積機率分
配函數為ܨ(ݔ) = 1 − ݁ି௫/ఒ, ݔ≥0。）（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、分組資料求平均數的方法：以各組組中點 c_i 代表該組觀測值，平均等候時間 x̄ = Σ f_i c_i / Σ f_i，其中 f_i 為人次。各組中點為 (0,5)→2.5、[5,10)→7.5、[10,15)→12.5、[15,20)→17.5、[20,30)→25（開放式最後一組以組中點 25 近似）。
- 二、資料缺漏說明：題幹中「人次」一列之數值完全空白，故無法計算 Σ f_i c_i 與總人次，平均等候時間無法得出唯一數值。考生應列出加權平均式、組中點設定，並說明最後一組為開放式區間，須以組中點近似或另作假設（如均勻分配於該組），此為分組資料的固有誤差。
- 三、指數分配的適合度檢定步驟：先以最大概似估計 λ̂ = x̄（指數分配平均數等於 λ），再計算各組理論機率 p₁ = F(5) = 1 − e^(−5/λ̂)、p₂ = F(10) − F(5)、p₃ = F(15) − F(10)、p₄ = F(20) − F(15)、p₅ = 1 − F(20) = e^(−20/λ̂)，期望次數 E_i = n·p_i。
- 四、檢定統計量與判定：χ² = Σ (O_i − E_i)²/E_i，因 λ 由樣本估計，自由度為 k − 1 − 1 = 5 − 2 = 3，臨界值 χ²₃,₀.₁ = 6.25。若 χ² > 6.25，在 α = 0.1 下拒絕「等候時間服從指數分配」的虛無假設。若任一组期望次數小於 5，須與相鄰組合併，並按合併後組數重算自由度。
- 五、限制與提醒：分組資料以組中點代替原始觀測值會產生誤差；λ 由同一樣本估計屬「估計後檢定」，自由度必須扣除估計參數個數。答題時應寫明 H₀：等候時間 ~ Exponential(λ)、H₁：不服從，並完整呈現期望次數表。
賈先生欲購買一輛油電混合二手車。他蒐集一組隨機樣本，其中車齡
（年）與價格（萬元）之資料如下：
X：車齡
Y：價格
已經算出ܵ௫௫= ߑ(ݔ−ݔ¯)ଶ= 62.4，ܵ௬௬= ߑ(ݕ−ݕ¯)ଶ= 12948，
ߑ(ݔ−ݔ¯)(ݕ−ݕ¯) = −808。
在顯著水準0.05 下，試檢定車齡與價格之相關係數是否為負值。（5 分）
考慮以價格為依變數、車齡為因變數之線性回歸模型。試求出回歸方
程式，並於顯著水準0.05 下，試檢定斜率係數是否為負值。（10 分）
試比較 之檢定統計量之異同。（5 分）
試求出判定係數，並說明其意義。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、相關係數的計算：r = S_xy/√(S_xx·S_yy) = −808/√(62.4 × 12948) = −808/898.86 ≈ −0.899。相關係數為負且絕對值接近 0.9，顯示車齡與價格呈高度負相關。
- 二、相關係數的檢定：H₀：ρ ≥ 0，H₁：ρ < 0（單尾），統計量 t = r√(n − 2)/√(1 − r²)，自由度 n − 2。因題幹未載明樣本數 n，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；以 r = −0.899 代入可得 t ≈ −0.899√(n − 2)/0.438 ≈ −2.05√(n − 2)，例如 n = 10 時 t ≈ −5.80，小於 −t₀.₀₅,₈ = −1.86，拒絕 H₀。
- 三、迴歸方程式：斜率 b₁ = S_xy/S_xx = −808/62.4 = −12.95（萬元/年），截距 b₀ = ȳ − b₁x̄。由於 x̄ 與 ȳ 未提供，截距無法算出，迴歸式可寫為 ŷ = b₀ − 12.95x，表示車齡每增加 1 年，價格平均下降約 12.95 萬元。
- 四、斜率的檢定：H₀：β₁ ≥ 0，H₁：β₁ < 0，t = b₁/SE(b₁)，其中 SE(b₁) = s/√S_xx、s² = (S_yy − b₁S_xy)/(n − 2)。以 n = 10 為例，S_yy − b₁S_xy = 12948 − 10462.6 = 2485.4，s² = 310.7、s = 17.63，SE(b₁) = 2.23，t = −5.80 < −1.86，拒絕 H₀。
- 五、兩檢定統計量的異同：相關係數檢定與斜率檢定在簡單線性迴歸中完全等價，t = r√(n − 2)/√(1 − r²) = b₁/SE(b₁)，且 F = t²；兩者自由度同為 n − 2，結論必然一致，差別僅在於一個以標準化相關係數表達、一個以原始單位（萬元/年）表達。
- 六、判定係數：R² = r² = (−0.899)² ≈ 0.808。其意義為價格的總變異中有 80.8% 可由車齡的線性關係解釋，其餘約 19.2% 來自其他因素（里程、車況、品牌）與隨機誤差，顯示配適度良好。