賈先生欲購買一輛油電混合二手車。他蒐集一組隨機樣本，其中車齡 （年）與價格（萬元）之資料如下： X：車齡 Y：價格 已經算出ܵ௫௫= ߑ(ݔ−ݔ¯)ଶ= 62.…

題目

賈先生欲購買一輛油電混合二手車。他蒐集一組隨機樣本，其中車齡 （年）與價格（萬元）之資料如下： X：車齡 Y：價格 已經算出ܵ௫௫= ߑ(ݔ−ݔ¯)ଶ= 62.4，ܵ௬௬= ߑ(ݕ−ݕ¯)ଶ= 12948， ߑ(ݔ−ݔ¯)(ݕ−ݕ¯) = −808。 在顯著水準0.05 下，試檢定車齡與價格之相關係數是否為負值。（5 分） 考慮以價格為依變數、車齡為因變數之線性回歸模型。試求出回歸方 程式，並於顯著水準0.05 下，試檢定斜率係數是否為負值。（10 分） 試比較 之檢定統計量之異同。（5 分） 試求出判定係數，並說明其意義。（5 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、相關係數的計算：r = S_xy/√(S_xx·S_yy) = −808/√(62.4 × 12948) = −808/898.86 ≈ −0.899。相關係數為負且絕對值接近 0.9，顯示車齡與價格呈高度負相關。
• 二、相關係數的檢定：H₀：ρ ≥ 0，H₁：ρ < 0（單尾），統計量 t = r√(n − 2)/√(1 − r²)，自由度 n − 2。因題幹未載明樣本數 n，題目資料缺漏，無法得出唯一數值；以 r = −0.899 代入可得 t ≈ −0.899√(n − 2)/0.438 ≈ −2.05√(n − 2)，例如 n = 10 時 t ≈ −5.80，小於 −t₀.₀₅,₈ = −1.86，拒絕 H₀。
• 三、迴歸方程式：斜率 b₁ = S_xy/S_xx = −808/62.4 = −12.95（萬元/年），截距 b₀ = ȳ − b₁x̄。由於 x̄ 與 ȳ 未提供，截距無法算出，迴歸式可寫為 ŷ = b₀ − 12.95x，表示車齡每增加 1 年，價格平均下降約 12.95 萬元。
• 四、斜率的檢定：H₀：β₁ ≥ 0，H₁：β₁ < 0，t = b₁/SE(b₁)，其中 SE(b₁) = s/√S_xx、s² = (S_yy − b₁S_xy)/(n − 2)。以 n = 10 為例，S_yy − b₁S_xy = 12948 − 10462.6 = 2485.4，s² = 310.7、s = 17.63，SE(b₁) = 2.23，t = −5.80 < −1.86，拒絕 H₀。
• 五、兩檢定統計量的異同：相關係數檢定與斜率檢定在簡單線性迴歸中完全等價，t = r√(n − 2)/√(1 − r²) = b₁/SE(b₁)，且 F = t²；兩者自由度同為 n − 2，結論必然一致，差別僅在於一個以標準化相關係數表達、一個以原始單位（萬元/年）表達。
• 六、判定係數：R² = r² = (−0.899)² ≈ 0.808。其意義為價格的總變異中有 80.8% 可由車齡的線性關係解釋，其餘約 19.2% 來自其他因素（里程、車況、品牌）與隨機誤差，顯示配適度良好。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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