民國110年 普通考試 統計 統計學概要
第4題
A 辦事處使用抽號機供訪客抽取號碼，並使用叫號機呼叫訪客前往櫃檯 接受服務。根據過去一週抽號機與叫號機之紀錄，製作訪客到訪之等候 時間（分鐘）與人次如下： 等候…
題目
A 辦事處使用抽號機供訪客抽取號碼，並使用叫號機呼叫訪客前往櫃檯 接受服務。根據過去一週抽號機與叫號機之紀錄，製作訪客到訪之等候 時間（分鐘）與人次如下： 等候時間 （0, 5） [5, 10） [10, 15） [15, 20） [20, 30） 人次 試求平均等候時間。（5 分） 在顯著水準0.1 下，試檢定等候時間是否服從指數分配。（期望值為ߣ 的指數分配之機率密度函數為݂(ݔ) = (1/ߣ)݁ି௫/ఒ, ݔ≥0；累積機率分 配函數為ܨ(ݔ) = 1 − ݁ି௫/ఒ, ݔ≥0。）（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、分組資料求平均數的方法：以各組組中點 c_i 代表該組觀測值，平均等候時間 x̄ = Σ f_i c_i / Σ f_i，其中 f_i 為人次。各組中點為 (0,5)→2.5、[5,10)→7.5、[10,15)→12.5、[15,20)→17.5、[20,30)→25（開放式最後一組以組中點 25 近似）。
- 二、資料缺漏說明：題幹中「人次」一列之數值完全空白，故無法計算 Σ f_i c_i 與總人次，平均等候時間無法得出唯一數值。考生應列出加權平均式、組中點設定，並說明最後一組為開放式區間，須以組中點近似或另作假設（如均勻分配於該組），此為分組資料的固有誤差。
- 三、指數分配的適合度檢定步驟：先以最大概似估計 λ̂ = x̄（指數分配平均數等於 λ），再計算各組理論機率 p₁ = F(5) = 1 − e^(−5/λ̂)、p₂ = F(10) − F(5)、p₃ = F(15) − F(10)、p₄ = F(20) − F(15)、p₅ = 1 − F(20) = e^(−20/λ̂)，期望次數 E_i = n·p_i。
- 四、檢定統計量與判定：χ² = Σ (O_i − E_i)²/E_i，因 λ 由樣本估計，自由度為 k − 1 − 1 = 5 − 2 = 3，臨界值 χ²₃,₀.₁ = 6.25。若 χ² > 6.25，在 α = 0.1 下拒絕「等候時間服從指數分配」的虛無假設。若任一组期望次數小於 5，須與相鄰組合併，並按合併後組數重算自由度。
- 五、限制與提醒：分組資料以組中點代替原始觀測值會產生誤差；λ 由同一樣本估計屬「估計後檢定」，自由度必須扣除估計參數個數。答題時應寫明 H₀：等候時間 ~ Exponential(λ)、H₁：不服從，並完整呈現期望次數表。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。