民國111年 普通考試 統計 統計學概要
第5題
反應變數Y 在三組（以類別變數X=1,2,3 表示）中的母體平均為u1、u2、u3。 為比較此三平均之差異，會將X 轉成2 個虛擬變數1 x x 、 ，然後配適…
題目
反應變數Y 在三組（以類別變數X=1,2,3 表示）中的母體平均為u1、u2、u3。 為比較此三平均之差異，會將X 轉成2 個虛擬變數1 x x 、 ，然後配適迴歸 模式 1 1 2 2 Y x x 。假設三組樣本數相同。 若虛擬變數（1 , x x ）的設定為： X=1 時，1 1 x ， x X=2 時，1 x ， x X=3 時，1 x ， x 結果顯示：1 顯著大於0 而 顯著小於0。請依此比較u1、u2、u3的大小。 （20 分） 附表一、߯ଶ分配右尾百分點߯ఈ ଶ(݂݀) 附表二、常態分配表
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型與虛擬變數編碼：以 X=3 為參照組（reference group），編碼為 X=1→(x1,x2)=(1,0)、X=2→(0,1)、X=3→(0,0)，迴歸模式為 Y=β0+β1x1+β2x2+ε。對照組平均數的關係為 μ1=β0+β1、μ2=β0+β2、μ3=β0，故 β1=μ1−μ3、β2=μ2−μ3，兩者皆為「與第三組之差異」。
- 二、由顯著性推論組間關係：題目指出 β1 顯著大於 0，表示 μ1−μ3>0，即 μ1>μ3；又 β2 顯著小於 0，表示 μ2−μ3<0，即 μ2<μ3。此處「顯著」係指在既定顯著水準下拒絕係數為 0 的虛無假設，統計上可判定方向，而非僅是樣本點估計的偶然差異。
- 三、大小排序：綜合上述兩項，可得 μ1>μ3>μ2。換言之，第一組平均最高，第三組居中，第二組最低。若以圖形輔助，可畫三條水平線代表三組平均，由高而低依序標示 μ1、μ3、μ2，並在旁註明 β1>0、β2<0 的方向。
- 四、補充說明與限制：由於三組樣本數相同，最小平方法（OLS）的係數估計恰等於各組樣本平均的線性組合，排序結論不受樣本數不均影響。若更換參照組（例如以 X=1 為基準），係數數值會改變，但三組平均的相對大小不變。另若要直接檢定 μ1=μ2，需檢定線性組合 β1−β2=0（或改用單因子變異數分析），不能僅憑 β1、β2 各自顯著與否推論。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。