首頁 / 普通考試 統計考古題 / 民國111年 普通考試 統計 統計學概要 民國111年 普通考試 統計 統計學概要考古題
民國111年 普通考試 統計 統計學概要收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
關於事件A、B、C，已知
P
0.24
A
B
∩
，
P
|
0.2
A
B C
∩
，
P
0.6
C
，
C表C 的補集。求
P A
B
C
∩
∩
。(15 分)
參考解答（AI 生成，非官方） 一、定義與公式：條件機率（conditional probability）的定義為 P(A∩B|C)=P(A∩B∩C)/P(C)，成立的先決條件是 P(C)>0。本題給定 P(A∩B)=0.24、P(A∩B|C)=0.2、P(C)=0.6，所求為三事件交集機率，可直接由定義移項得到，不必先求 P(A)、P(B)。 二、計算過程：將定義式兩邊同乘 P(C)，得 P(A∩B∩C)=P(A∩B|C)×P(C)=0.2×0.6=0.12。此即乘法法則（multiplication rule）的應用：P(A∩B∩C)=P(C)×P(A∩B|C)。因此所求 P(A∩B∩C)=0.12。 三、合理性檢核與延伸：0.12 同時小於 P(A∩B)=0.24 與 P(C)=0.6，符合機率單調性（monotonicity），答案合理。若題目改問 P(C|A∩B)，則為 0.12/0.24=0.5；若問 P(A∩B∩C^c)，則為 0.24−0.12=0.12。作答時宜寫出公式、代入與檢核三步，以確保取得完整分數。
三種遺傳型態A、B、C 在某基因模式下，出現機率分別為
/6
/3
、
、
(1
/ 2)
，研究者收集120 位受測者，A、B、C 人數分別為10、25、85 人。
（每小題10 分，共20 分）
求 之最大概似估計。
請問在α
0.05
下，檢定該模式是否合適？
參考解答（AI 生成，非官方） 一、模式設定與概似函數：依題意，三種遺傳型態的機率為 p_A=θ/6、p_B=θ/3、p_C=1−θ/2，參數範圍 0<θ<2，三者和為 1。樣本數 n=120，觀測次數 (n_A,n_B,n_C)=(10,25,85)。概似函數 L(θ)∝(θ/6)^10(θ/3)^25(1−θ/2)^85。 二、最大概似估計（MLE）推導：取對數得 lnL=35lnθ+85ln(1−θ/2)+常數，對 θ 微分並令其為零：35/θ−85/(2−θ)=0，交叉相乘得 35(2−θ)=85θ，即 70=120θ，故 θ̂=7/12≈0.5833。二階導數為負，確認是極大值。代回可得 p̂_A=7/72≈0.0972、p̂_B=7/36≈0.1944、p̂_C=17/24≈0.7083。 三、適合度檢定的統計量：H0：資料符合該遺傳模式；H1：不符合。期望次數為 120p̂=(11.67,23.33,85.00)，均大於 5，符合卡方近似的適用條件。χ²=Σ(O−E)²/E=(10−11.67)²/11.67+(25−23.33)²/23.33+0=0.238+0.119+0.000=0.357。 四、自由度與判定：因 θ 由資料估計，自由度為 k−1−m=3−1−1=1。查表 χ²_0.05(1)=3.841，因 0.357<3.841，故不拒絕 H0，p 值約 0.55。結論：在 α=0.05 下，尚無充分證據顯示該基因模式不合適。作答時應強調「估計參數須扣自由度」與「期望次數不得過小」兩項關鍵。
八位受試者接受某降膽固醇藥物，接受前先測量一次，接受後再測量一
次，結果如下表。下降表示該藥物有效果。請以符號檢定（Sign test）在
α
0.05
顯著水準下檢定H1：藥物對降膽固醇有效果。（20 分）
受試者
前
後
參考解答（AI 生成，非官方） 一、檢定設定：此為配對樣本（paired samples）設計，令 D_i=前測−後測，D_i>0 表示膽固醇下降，即藥物有效。H0：p=0.5（藥物無效，下降與上升機率各半）；H1：p>0.5（單尾）。符號檢定（sign test）只使用差值正負號，不須假設母體常態，適合小樣本。 二、檢定統計量與抽樣分配：剔除 D_i=0（無變化）的受試者後，有效對數記為 n'，令 T 為 D_i>0 的個數，則在 H0 下 T∼Bin(n',0.5)，即 T 為二項分配（binomial distribution）。以右尾 p 值 P(T≥t_obs) 判定，或以拒絕域判定。 三、拒絕域：當 n'=8 時，P(T≥7)=[C(8,7)+C(8,8)]/2^8=9/256≈0.0352<0.05，而 P(T≥6)=37/256≈0.1445>0.05，故拒絕域為 {T≥7}。亦即八位受試者中至少七位膽固醇下降，才能在 α=0.05 下宣稱藥物有效；若有人前後測相同，須先剔除並以剩下的對數重新查表。 四、資料缺漏之處理：題目所附「前、後」數值表格並未顯示，無法算出實際的正號個數與檢定結論，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。考生作答時應先逐列相減、標記正負與零，統計 T 值後套用上述拒絕域；另可補充：小樣本不宜使用常態近似，n' 較大時才可用 z=(T−0.5n')/(0.5√n') 近似。
教育當局想測試A、B 兩區學童數學程度是否相同，A 區250 位學童受
測，及格比率0.40，B 區200 位學童受測，及格比率0.37。請以α
0.01
顯著水準下檢定兩區學童數學測試及格之比例是否相同？（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、假設與假說：設 A、B 兩區學童數學及格率分別為 p1、p2，樣本數 n1=250、n2=200，樣本比例 p̂1=0.40、p̂2=0.37。H0：p1=p2；H1：p1≠p2（雙尾），α=0.01，臨界值 z_0.005=2.576。因兩樣本獨立且各組成功與失敗次數皆大於 5，常態近似適當。 二、檢定統計量：混合比例（pooled proportion）p̂=(250×0.40+200×0.37)/450=(100+74)/450=0.3867。標準誤 SE=√[p̂(1−p̂)(1/n1+1/n2)]=√(0.3867×0.6133×0.009)=√0.002134≈0.0462。z=(0.40−0.37)/0.0462≈0.649。 三、判定：因 |z|=0.649<2.576，不拒絕 H0，雙尾 p 值約 0.52，遠大於 0.01。結論：在 α=0.01 下，無充分證據顯示 A、B 兩區學童數學及格比例不同。若誤用單尾或 α=0.05，結論仍為不拒絕，可作為穩健性（robustness）的補充說明。 四、信賴區間與結論呼應：以未混合標準誤計算，SE=√(0.4×0.6/250+0.37×0.63/200)=√0.002126≈0.0461，99% 信賴區間為 0.03±2.576×0.0461=(−0.089,0.149)，包含 0，與檢定結論一致。建議考生同時報告檢定統計量、p 值與信賴區間，並說明「不拒絕」不等於「證明相同」，僅是證據不足。
反應變數Y 在三組（以類別變數X=1,2,3 表示）中的母體平均為u1、u2、u3。
為比較此三平均之差異，會將X 轉成2 個虛擬變數1
x
x
、
，然後配適迴歸
模式
1 1
2 2
Y
x
x
。假設三組樣本數相同。
若虛擬變數（1
,
x
x ）的設定為：
X=1 時，1 1
x ，
x
X=2 時，1
x ，
x
X=3 時，1
x ，
x
結果顯示：1 顯著大於0 而
顯著小於0。請依此比較u1、u2、u3的大小。
（20 分）
附表一、߯ଶ分配右尾百分點߯ఈ
ଶ(݂݀)
附表二、常態分配表
參考解答（AI 生成，非官方） 一、模型與虛擬變數編碼：以 X=3 為參照組（reference group），編碼為 X=1→(x1,x2)=(1,0)、X=2→(0,1)、X=3→(0,0)，迴歸模式為 Y=β0+β1x1+β2x2+ε。對照組平均數的關係為 μ1=β0+β1、μ2=β0+β2、μ3=β0，故 β1=μ1−μ3、β2=μ2−μ3，兩者皆為「與第三組之差異」。 二、由顯著性推論組間關係：題目指出 β1 顯著大於 0，表示 μ1−μ3>0，即 μ1>μ3；又 β2 顯著小於 0，表示 μ2−μ3<0，即 μ2<μ3。此處「顯著」係指在既定顯著水準下拒絕係數為 0 的虛無假設，統計上可判定方向，而非僅是樣本點估計的偶然差異。 三、大小排序：綜合上述兩項，可得 μ1>μ3>μ2。換言之，第一組平均最高，第三組居中，第二組最低。若以圖形輔助，可畫三條水平線代表三組平均，由高而低依序標示 μ1、μ3、μ2，並在旁註明 β1>0、β2<0 的方向。 四、補充說明與限制：由於三組樣本數相同，最小平方法（OLS）的係數估計恰等於各組樣本平均的線性組合，排序結論不受樣本數不均影響。若更換參照組（例如以 X=1 為基準），係數數值會改變，但三組平均的相對大小不變。另若要直接檢定 μ1=μ2，需檢定線性組合 β1−β2=0（或改用單因子變異數分析），不能僅憑 β1、β2 各自顯著與否推論。