民國111年 普通考試 統計 統計學概要
第4題
教育當局想測試A、B 兩區學童數學程度是否相同，A 區250 位學童受 測，及格比率0.40，B 區200 位學童受測，及格比率0.37。請以α 0.01
題目
教育當局想測試A、B 兩區學童數學程度是否相同，A 區250 位學童受 測，及格比率0.40，B 區200 位學童受測，及格比率0.37。請以α 0.01 顯著水準下檢定兩區學童數學測試及格之比例是否相同？（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、假設與假說：設 A、B 兩區學童數學及格率分別為 p1、p2，樣本數 n1=250、n2=200，樣本比例 p̂1=0.40、p̂2=0.37。H0：p1=p2；H1：p1≠p2（雙尾），α=0.01，臨界值 z_0.005=2.576。因兩樣本獨立且各組成功與失敗次數皆大於 5，常態近似適當。
- 二、檢定統計量：混合比例（pooled proportion）p̂=(250×0.40+200×0.37)/450=(100+74)/450=0.3867。標準誤 SE=√[p̂(1−p̂)(1/n1+1/n2)]=√(0.3867×0.6133×0.009)=√0.002134≈0.0462。z=(0.40−0.37)/0.0462≈0.649。
- 三、判定：因 |z|=0.649<2.576，不拒絕 H0，雙尾 p 值約 0.52，遠大於 0.01。結論：在 α=0.01 下，無充分證據顯示 A、B 兩區學童數學及格比例不同。若誤用單尾或 α=0.05，結論仍為不拒絕，可作為穩健性（robustness）的補充說明。
- 四、信賴區間與結論呼應：以未混合標準誤計算，SE=√(0.4×0.6/250+0.37×0.63/200)=√0.002126≈0.0461，99% 信賴區間為 0.03±2.576×0.0461=(−0.089,0.149)，包含 0，與檢定結論一致。建議考生同時報告檢定統計量、p 值與信賴區間，並說明「不拒絕」不等於「證明相同」，僅是證據不足。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。