民國112年 普通考試 統計 統計學概要
第1題
一汽車生產工廠將某日生產的309部汽車，依A、B、C、D四種缺點及大、 中、小三種車型，分別檢驗並記錄其資料如下表： 車型\缺點 A B C D 大 中 小 在…
題目
一汽車生產工廠將某日生產的309部汽車，依A、B、C、D四種缺點及大、 中、小三種車型，分別檢驗並記錄其資料如下表： 車型\缺點 A B C D 大 中 小 在α = 0.05下，試以卡方檢定汽車缺點與車型大小是否有關（請詳細寫出 a.虛無與對立假設、b.檢定統計量公式、c.拒絕域、d.檢定值之計算過程、 e.檢定結果與結論）？（25分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、研究問題與假設：本題為 3×4 列聯表（contingency table）的獨立性檢定，欲判斷汽車缺點類型（A、B、C、D）與車型大小（大、中、小）這兩個分類變數是否獨立。虛無假設 H0：缺點類型與車型大小相互獨立（無關）；對立假設 H1：兩變數不獨立（有關）。設定顯著水準 α=0.05，採右尾檢定。
- 二、檢定統計量：χ²=ΣΣ(Oij−Eij)²/Eij，其中 Oij 為第 i 列第 j 欄的觀察次數，Eij=(Ri×Cj)/n 為期望次數，Ri、Cj 分別為第 i 列與第 j 欄的邊際總和，n=309 為總樣本數。在 H0 成立且各格期望次數足夠的前提下，此統計量近似卡方分配，自由度 df=(r−1)(c−1)=(3−1)(4−1)=6。
- 三、拒絕域：臨界值為 χ²0.05(6)=12.592（右尾）。若檢定值 χ²>12.592 則拒絕 H0，判定缺點與車型有關；若 χ²≤12.592 則不拒絕 H0。另須檢查期望次數條件，若期望次數小於 5 的格子過多，宜合併類別或改用精確檢定。
- 四、計算過程：先以列合計與行合計求出 12 個 Eij，逐一計算 (Oij−Eij)²/Eij 後加總，並可列表呈現 Oij、Eij、差值、平方除以期望值等欄位。惟題目所附列聯表僅存欄位名稱，各細格觀察次數並未顯示，屬「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」，考生應列出完整計算表格式並註明資料不足。
- 五、結論撰寫要領：若算得 χ² 大於 12.592，結論為「在 α=0.05 下拒絕 H0，有足夠證據顯示汽車缺點類型與車型大小有關」；反之則為「無足夠證據顯示兩者有關」。並可輔以 Cramér's V 說明關聯強度，同時提醒卡方檢定僅指出關聯存在，不能直接推論因果關係。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。