首頁 / 普通考試 統計考古題 / 民國112年 普通考試 統計 統計學概要 民國112年 普通考試 統計 統計學概要考古題
民國112年 普通考試 統計 統計學概要收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
一汽車生產工廠將某日生產的309部汽車，依A、B、C、D四種缺點及大、
中、小三種車型，分別檢驗並記錄其資料如下表：
車型\缺點
A
B
C
D
大
中
小
在α = 0.05下，試以卡方檢定汽車缺點與車型大小是否有關（請詳細寫出
a.虛無與對立假設、b.檢定統計量公式、c.拒絕域、d.檢定值之計算過程、
e.檢定結果與結論）？（25分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、研究問題與假設：本題為 3×4 列聯表（contingency table）的獨立性檢定，欲判斷汽車缺點類型（A、B、C、D）與車型大小（大、中、小）這兩個分類變數是否獨立。虛無假設 H0：缺點類型與車型大小相互獨立（無關）；對立假設 H1：兩變數不獨立（有關）。設定顯著水準 α=0.05，採右尾檢定。 二、檢定統計量：χ²=ΣΣ(Oij−Eij)²/Eij，其中 Oij 為第 i 列第 j 欄的觀察次數，Eij=(Ri×Cj)/n 為期望次數，Ri、Cj 分別為第 i 列與第 j 欄的邊際總和，n=309 為總樣本數。在 H0 成立且各格期望次數足夠的前提下，此統計量近似卡方分配，自由度 df=(r−1)(c−1)=(3−1)(4−1)=6。 三、拒絕域：臨界值為 χ²0.05(6)=12.592（右尾）。若檢定值 χ²>12.592 則拒絕 H0，判定缺點與車型有關；若 χ²≤12.592 則不拒絕 H0。另須檢查期望次數條件，若期望次數小於 5 的格子過多，宜合併類別或改用精確檢定。 四、計算過程：先以列合計與行合計求出 12 個 Eij，逐一計算 (Oij−Eij)²/Eij 後加總，並可列表呈現 Oij、Eij、差值、平方除以期望值等欄位。惟題目所附列聯表僅存欄位名稱，各細格觀察次數並未顯示，屬「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」，考生應列出完整計算表格式並註明資料不足。 五、結論撰寫要領：若算得 χ² 大於 12.592，結論為「在 α=0.05 下拒絕 H0，有足夠證據顯示汽車缺點類型與車型大小有關」；反之則為「無足夠證據顯示兩者有關」。並可輔以 Cramér's V 說明關聯強度，同時提醒卡方檢定僅指出關聯存在，不能直接推論因果關係。
已知函數݂(ݔ)為
ݔ
݂(ݔ)
1/3
1/2
1/6
試求：（每小題5分，共25分）
驗證݂(ݔ)為一機率函數。
ܲ(ܺ≤2.5|ܺ> 1)。
ܸܽݎ(ܺ)。
ܧ[(ܺ+ 1)ସ]。
ܸܽݎ[(ܺ+ 1)ଶ]。
參考解答（AI 生成，非官方） 一、驗證機率函數：依題意離散隨機變數 X 之取值為 1、2、3，對應機率 f(1)=1/3、f(2)=1/2、f(3)=1/6。驗證兩條件：(1) 各機率均不為負，1/3、1/2、1/6 皆 ≥0；(2) 機率和為 1，即 1/3+1/2+1/6=2/6+3/6+1/6=1。兩條件成立，故 f(x) 為一機率函數（probability mass function）。 二、P(X≤2.5|X>1)：條件機率定義為 P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。分子為 P(1<X≤2.5)=P(X=2)=1/2；分母為 P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)=1/2+1/6=2/3。故所求=(1/2)/(2/3)=3/4=0.75。 三、Var(X)：E(X)=1×(1/3)+2×(1/2)+3×(1/6)=1/3+1+1/2=11/6；E(X²)=1×(1/3)+4×(1/2)+9×(1/6)=1/3+2+3/2=23/6。Var(X)=E(X²)−[E(X)]²=23/6−121/36=138/36−121/36=17/36≈0.4722。 四、E[(X+1)⁴]：令 g(X)=(X+1)⁴，其取值為 16、81、256。E[g(X)]=16×(1/3)+81×(1/2)+256×(1/6)=16/3+81/2+128/3=(32+243+256)/6=531/6=88.5。 五、Var[(X+1)²]：令 W=(X+1)²，取值為 4、9、16。E(W)=4/3+9/2+16/6=8/6+27/6+16/6=51/6=8.5；E(W²)=16/3+81/2+256/6=88.5。故 Var(W)=88.5−8.5²=88.5−72.25=16.25（即 65/4）。提醒 Var[(X+1)²]≠[Var(X+1)]²，須先定義新變數再取變異數。
在簡單直線迴歸中，設自變數ܺ為廣告費用，應變數ܻ為銷售量，樣本
數n = 10。已知：
ݔ
ୀଵ
= 140, ݕ
ୀଵ
= 1300, ݔݕ
ୀଵ
= 21040,
ݔ
ଶ
ୀଵ
= 2528, ݕ
ଶ
ୀଵ
= 184730
用最小平方法求迴歸直線。（10分）
求斜率ߚଵ之95%信賴區間。（10分）
求判定係數ܴଶ。（5分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、最小平方法求迴歸直線：n=10，x̄=140/10=14，ȳ=1300/10=130。離差平方和 Sxx=Σx²−(Σx)²/n=2528−1960=568；乘積和 Sxy=Σxy−(Σx)(Σy)/n=21040−18200=2840；Syy=184730−169000=15730。 二、參數估計：斜率 b1=Sxy/Sxx=2840/568=5.0，截距 b0=ȳ−b1x̄=130−5×14=60。迴歸直線為 ŷ=60+5x，解釋為廣告費用每增加 1 單位，銷售量平均增加 5 單位。 三、斜率 95% 信賴區間：SSE=Syy−b1Sxy=15730−5×2840=1530，MSE=SSE/(n−2)=1530/8=191.25，se(b1)=√(MSE/Sxx)=√(191.25/568)=0.5803。t0.025(8)=2.306，區間為 5±2.306×0.5803=5±1.338，即 (3.662, 6.338)。 四、判定係數：R²=Sxy²/(Sxx×Syy)=2840²/(568×15730)=8,065,600/8,934,640≈0.9027，亦可由 1−SSE/Syy=1−1530/15730 得同一結果。表示銷售量變異中約 90.27% 可由廣告費用解釋，配適良好；相關係數 r=√0.9027≈0.9501（因 b1>0 取正值）。
為了測定工廠安全訓練的效率，下列資料是12家工廠於安全訓練前之年
平均意外事件數（X）和安全訓練後之年平均意外事件數（Y）：
ܺ
ܻ
假設資料的差異具有常態分配。令d =X Y，請以顯著水準α = 0.05，進行單
尾檢定，以檢定安全訓練的效果（請詳細寫出a.虛無與對立假設、b.檢定統
計量公式、c.拒絕域、d.檢定值之計算過程、e.檢定結果與結論）。（25分）
附表一：t值表
α
∞
附表二：卡方分配臨界值表
參考解答（AI 生成，非官方） 一、設計與假設：同一家工廠訓練前後資料成對，屬配對樣本（paired samples）設計，令 d=X−Y（訓練前年平均意外數減訓練後）。H0：μd≤0（訓練無效果或使意外增加）；H1：μd>0（訓練後意外數減少，具效果）。α=0.05，採右尾單尾檢定，df=n−1=11。 二、檢定統計量與拒絕域：t=(d̄−0)/(sd/√n)，其中 d̄ 為差異平均數、sd 為差異標準差。拒絕域為 t>t0.05(11)=1.796；若 t≤1.796 則不拒絕 H0。此設計不可誤用獨立雙樣本 t 檢定。 三、計算步驟：先逐廠計算 di=Xi−Yi，求 d̄=Σdi/12 與 sd=√[Σ(di−d̄)²/11]，再代入統計量。惟題目表格中 X、Y 之數值未顯示，屬「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」，考生應列出計算表格（工廠、X、Y、d、d−d̄、(d−d̄)²）並註明資料不足。 四、結論與提醒：若算得 t>1.796，結論為在 α=0.05 下拒絕 H0，有足夠證據顯示安全訓練可降低年平均意外件數；否則無足夠證據支持訓練有效。另須注意差異具常態分配之前提，且差異方向定義須與對立假設一致，以免尾端判斷錯誤。