已知函數݂௑(ݔ)為 ݔ ݂௑(ݔ) 1/3 1/2 1/6 試求：（每小題5分，共25分） 驗證݂௑(ݔ)為一機率函數。 ܲ(ܺ≤2.5|ܺ> 1)。 ܸܽݎ…

題目

已知函數݂௑(ݔ)為 ݔ ݂௑(ݔ) 1/3 1/2 1/6 試求：（每小題5分，共25分） 驗證݂௑(ݔ)為一機率函數。 ܲ(ܺ≤2.5|ܺ> 1)。 ܸܽݎ(ܺ)。 ܧ[(ܺ+ 1)ସ]。 ܸܽݎ[(ܺ+ 1)ଶ]。

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、驗證機率函數：依題意離散隨機變數 X 之取值為 1、2、3，對應機率 f(1)=1/3、f(2)=1/2、f(3)=1/6。驗證兩條件：(1) 各機率均不為負，1/3、1/2、1/6 皆 ≥0；(2) 機率和為 1，即 1/3+1/2+1/6=2/6+3/6+1/6=1。兩條件成立，故 f(x) 為一機率函數（probability mass function）。
• 二、P(X≤2.5|X>1)：條件機率定義為 P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。分子為 P(1<X≤2.5)=P(X=2)=1/2；分母為 P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)=1/2+1/6=2/3。故所求=(1/2)/(2/3)=3/4=0.75。
• 三、Var(X)：E(X)=1×(1/3)+2×(1/2)+3×(1/6)=1/3+1+1/2=11/6；E(X²)=1×(1/3)+4×(1/2)+9×(1/6)=1/3+2+3/2=23/6。Var(X)=E(X²)−[E(X)]²=23/6−121/36=138/36−121/36=17/36≈0.4722。
• 四、E[(X+1)⁴]：令 g(X)=(X+1)⁴，其取值為 16、81、256。E[g(X)]=16×(1/3)+81×(1/2)+256×(1/6)=16/3+81/2+128/3=(32+243+256)/6=531/6=88.5。
• 五、Var[(X+1)²]：令 W=(X+1)²，取值為 4、9、16。E(W)=4/3+9/2+16/6=8/6+27/6+16/6=51/6=8.5；E(W²)=16/3+81/2+256/6=88.5。故 Var(W)=88.5−8.5²=88.5−72.25=16.25（即 65/4）。提醒 Var[(X+1)²]≠[Var(X+1)]²，須先定義新變數再取變異數。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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