民國114年 普通考試 統計 統計學概要
第1題
甲市警察局研究酒駕年齡之分布，已知其平均數為42 歲。（每小題10 分，共20 分） 若酒駕年齡服從常態分配，且介於34 至50 歲者占五成，試問酒駕 者中60…
題目
甲市警察局研究酒駕年齡之分布，已知其平均數為42 歲。（每小題10 分，共20 分） 若酒駕年齡服從常態分配，且介於34 至50 歲者占五成，試問酒駕 者中60 歲以上者占多少比例？ 若酒駕年齡之分配未知，試問酒駕者中60 歲以上者占多少比例？
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、設酒駕年齡為 X，依題意 X~N(42, σ²)。34 與 50 分別在平均數下方與上方 8 歲，且 P(34<X<50)=0.5；因常態分配對稱，中央 50% 的兩尾各占 0.25，故 P(0<Z<8/σ)=0.25。查標準常態表得 z0.25≈0.6745，這是求 σ 的關鍵。
- 二、由 8/σ=0.6745，得 σ≈11.86 歲。將 60 歲標準化：z=(60-42)/11.86≈1.518。此值表示 60 歲約在平均數右方 1.52 個標準差處，後續查表可得右尾機率。
- 三、P(X>60)=P(Z>1.518)=1-Φ(1.518)≈0.0645，即約 6.45%。若以 z=1.52 查表，Φ(1.52)=0.9357，右尾約 6.43%；差異來自四捨五入，作答時宜註明查表值與插值方式。
- 四、若分配未知，僅知平均數 42 歲及 34 至 50 歲占五成，不能唯一決定 P(X>60)。常態假設下的對稱性與標準差推論失效；可建構平均數同為 42、中央 50% 相同但右尾不同的分配，故本小題沒有唯一比例。
- 五、分配未知時僅能給出上限：若年齡非負，Markov 不等式（馬可夫不等式）給 P(X≥60)≤42/60=0.7；若沿用 σ=11.86 且採 Cantelli 單尾不等式（坎泰利不等式），上界約 σ²/(σ²+18²)=0.303。這些只是上界，不是實際比例；應明確寫「資料不足，無法得出唯一數值」。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。