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民國114年 普通考試 統計 統計學概要收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
甲市警察局研究酒駕年齡之分布，已知其平均數為42 歲。（每小題10
分，共20 分）
若酒駕年齡服從常態分配，且介於34 至50 歲者占五成，試問酒駕
者中60 歲以上者占多少比例？
若酒駕年齡之分配未知，試問酒駕者中60 歲以上者占多少比例？
參考解答（AI 生成，非官方） 一、設酒駕年齡為 X，依題意 X~N(42, σ²)。34 與 50 分別在平均數下方與上方 8 歲，且 P(34<X<50)=0.5；因常態分配對稱，中央 50% 的兩尾各占 0.25，故 P(0<Z<8/σ)=0.25。查標準常態表得 z0.25≈0.6745，這是求 σ 的關鍵。 二、由 8/σ=0.6745，得 σ≈11.86 歲。將 60 歲標準化：z=(60-42)/11.86≈1.518。此值表示 60 歲約在平均數右方 1.52 個標準差處，後續查表可得右尾機率。 三、P(X>60)=P(Z>1.518)=1-Φ(1.518)≈0.0645，即約 6.45%。若以 z=1.52 查表，Φ(1.52)=0.9357，右尾約 6.43%；差異來自四捨五入，作答時宜註明查表值與插值方式。 四、若分配未知，僅知平均數 42 歲及 34 至 50 歲占五成，不能唯一決定 P(X>60)。常態假設下的對稱性與標準差推論失效；可建構平均數同為 42、中央 50% 相同但右尾不同的分配，故本小題沒有唯一比例。 五、分配未知時僅能給出上限：若年齡非負，Markov 不等式（馬可夫不等式）給 P(X≥60)≤42/60=0.7；若沿用 σ=11.86 且採 Cantelli 單尾不等式（坎泰利不等式），上界約 σ²/(σ²+18²)=0.303。這些只是上界，不是實際比例；應明確寫「資料不足，無法得出唯一數值」。
甲廠商宣稱其開發之A 型燈泡之平均壽命高於100 天。隨機抽取50
顆進行測試，得到其樣本平均數與樣本標準差分別為104 天與12 天。
（每小題10 分，共20 分）
在顯著水準為0.01 之下，試檢定廠商之宣稱是否成立？
若燈泡一出廠就有瑕疵而無法使用的機率為0.005，而其餘燈泡之壽
命服從平均數為105 天之指數分配。試問壽命低於5 天之機率為何？
參考解答（AI 生成，非官方） 一、令 X 為燈泡壽命，檢定 H0: μ≤100 對 H1: μ>100，α=0.01，n=50。因母體標準差未知，採單尾 t 檢定，df=49。檢定統計量 t=(104-100)/(12/√50)=4/1.697≈2.357。 二、查表 t0.01,49≈2.405；2.357<2.405，故不拒絕 H0，p 值約 0.011，略大於 0.01。結論：在 1% 水準下，證據不足以支持廠商宣稱。若以 z 近似，z0.01=2.326，2.357>2.326 會拒絕，p≈0.009；正式採 t 檢定，並應說明此邊際差異。 三、第二小題設 L 為壽命。出廠即瑕疵者 L=0，機率 0.005；非瑕疵者占 0.995，且 L|非瑕疵~Exp（指數分配，平均數 105）。指數分配累積機率 F(5)=1-e^(-5/105)=1-e^(-0.04762)≈0.0465。 四、以全機率公式：P(L<5)=0.005×1+0.995×0.0465≈0.005+0.0463=0.0513，即約 5.13%。注意瑕疵品必須計入「壽命低於 5 天」，不可只算指數分配部分。
健康單位提供各式抽獎獎項鼓勵40 歲以上民眾接受癌症篩檢，民眾
可以選擇一種獎項參與抽獎。以下是不同年齡層之篩檢人次及選擇抽
獎獎項之統計資料：
40-50
50-60
60-70
70+
演唱會門票
Xbox360
登山踏步健身機
在顯著水準為0.05 之下，試檢定年齡層與獎項是否相關？（10 分）
在顯著水準為0.05 之下，試檢定各年齡層之篩檢人次是否相同？
並檢定各式獎項之篩檢人次是否相同？（20 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、題幹僅列出年齡層與獎項名稱，未提供各格人次、列和及行和，因此無法算出 χ²、p 值或唯一結論。以下列出檢定設定、公式與判定規則；實際作答時，應先將列聯表補齊並以總人次 n 計算。 二、相關性檢定：H0 為年齡層與獎項獨立，H1 為二者相關。年齡層 4 類、獎項 3 類，df=(4-1)(3-1)=6；α=0.05 時，χ² 右尾 0.05、df=6 的臨界值為 12.592。期望次數 Eij=Ri×Cj/n，統計量 χ²=Σ(Oij-Eij)²/Eij；若 χ²>12.592 則拒絕獨立。 三、年齡層篩檢人次是否相同：採適合度檢定，H0 為四年齡層機率均等（各 1/4）。df=3，α=0.05 臨界值 7.815；期望人次 E=n/4，χ²=Σ(Oj-E)²/E。若 χ²>7.815，拒絕各年齡層人次相同。 四、獎項人次是否相同：同採適合度檢定，H0 為三獎項機率均等（各 1/3）。df=2，臨界值 5.991；E=n/3，χ²=Σ(Oj-E)²/E。若 χ²>5.991，拒絕各獎項人次相同。 五、注意期望次數不宜小於 5，否則應合併相鄰類別；且同一批資料重複做多個檢定會膨脹第一類錯誤，必要時調整 α。若題意要求邊際齊一性，應改用 Stuart-Maxwell 檢定（邊際齊一性檢定）或對數線性模型。因資料缺漏，無法得出唯一數值。
甲、乙、丙三種疾病第四期病人之存活年數統計資料如下，在顯著水
準為0.1 之下，試問三種疾病存活年數之分布是否相同？（10 分）
<1
1-2
2-3
3-4
>4
甲
乙
丙
參考解答（AI 生成，非官方） 一、題目只給三種疾病與五個存活年數組別，未給各格人數，故無法計算檢定統計量與 p 值；以下說明檢定流程與判定規則。作答時應先確認為 3×5 列聯表，並計算列和、行和及總人數 n。 二、檢定三種疾病存活分布是否相同，採齊一性檢定：H0 為三組分布相同，H1 為不全相同。df=(3-1)(5-1)=8；α=0.1 的臨界值為 χ² 右尾 0.1、df=8 的 13.362。期望次數 Eij=Ri×Cj/n，χ²=Σ(Oij-Eij)²/Eij；χ²>13.362 則拒絕 H0。 三、若期望次數小於 5，應合併相鄰存活組別再檢定。另若把存活年數視為有序資料，可改用 Kruskal-Wallis 檢定（無母數等級檢定，df=2，α=0.1 臨界值 4.605），但需原始資料或組中點；依題目之分組次數表，通常採卡方齊一性檢定。因資料缺漏，無法得出唯一數值。 四、若拒絕 H0，只能說至少有一組分布不同，不能宣稱三組兩兩皆不同；需進一步做事後兩兩比較，並控制多重比較的整體錯誤率。
假設手機的應用程式之生命週期（y）（單位：年）與其發布後半年內的
下載次數（x）服從線性模型，y
x
e
，其中e 服從
(0,
)
N
。
若隨機取樣12 款已經被市場淘汰之應用程式，得到以下數據：
6345,
4050445,
39.64,
152.7,
x
x
y
y
xy
，
且判定係數為0.9288。（每小題10 分，共20 分）
試求回歸方程式與β 的95%信賴區間。
若一新款應用程式發布後半年內被下載500 次，試求其生命週期的
95%預測區間。
附表一：z 表
Example:
If z=1.96, then
(0 to z)=0.4750
附表二：t 表
Example: With
df =9 and .10 area
in the upper tail,
t =1.383
附表三：χ2 表
Example: With 17
df and a 0.02 area in
the upper tail,X2=30.995
附表四：F 表
附表五：F 表
參考解答（AI 生成，非官方） 一、模型為 y=β0+β1x+e，e~N(0,σ²)，n=12。由資料得 x̄=6345/12=528.75，ȳ=39.64/12=3.3033；Sxx=4,050,445-6345²/12=695,526.25，Syy=152.7-39.64²/12=21.7559。題面 Σxy 未完整顯示；由 R²=0.9288 僅能回推 |Sxy|=√(R²SxxSyy)≈3,748.9，符號需另判。 二、若依下載次數與生命週期之正向關係取 Sxy=+3,748.9，則 Σxy≈24,708.6，b1=Sxy/Sxx≈0.005390，b0=ȳ-b1x̄≈0.4533，故 ŷ=0.4533+0.005390x。若原卷有給 Σxy，應直接以原值計算；若斜率為負，則整組符號相反。 三、β1 的 95% 信賴區間：SSE=Syy(1-R²)=21.7559×0.0712≈1.5490，MSE=SSE/(n-2)=0.1549；SE(b1)=√(MSE/Sxx)≈0.0004719。t0.025,10=2.228，故 b1±t×SE=0.005390±0.001052，約為 (0.00434, 0.00644)。此處以 β1（斜率）作答；若題目 β 指截距，需改用 SE(b0)=√[MSE(1/n+x̄²/Sxx)]。 四、x0=500 時，ŷ=0.4533+0.005390×500≈3.1484 年。預測區間之標準誤為 SEpred=√[MSE(1+1/n+(x0-x̄)²/Sxx)]=√[0.1549×1.08452]≈0.4099；t0.025,10=2.228，故區間為 3.1484±2.228×0.4099=3.1484±0.9133，約 (2.235, 4.062) 年。 五、上述數值建立在「Σxy 可由 R² 回推且取正斜率」之假設；嚴格而言，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。若 Σxy 未給或正負號不明，只能寫出 b1=Sxy/Sxx、b0=ȳ-b1x̄ 及區間公式，不能宣稱唯一方程式。另預測區間比平均數信賴區間寬，因含新觀測的隨機誤差。