民國114年 普通考試 統計 統計學概要
第2題
甲廠商宣稱其開發之A 型燈泡之平均壽命高於100 天。隨機抽取50 顆進行測試，得到其樣本平均數與樣本標準差分別為104 天與12 天。 （每小題10 分，共2…
題目
甲廠商宣稱其開發之A 型燈泡之平均壽命高於100 天。隨機抽取50 顆進行測試，得到其樣本平均數與樣本標準差分別為104 天與12 天。 （每小題10 分，共20 分） 在顯著水準為0.01 之下，試檢定廠商之宣稱是否成立？ 若燈泡一出廠就有瑕疵而無法使用的機率為0.005，而其餘燈泡之壽 命服從平均數為105 天之指數分配。試問壽命低於5 天之機率為何？
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、令 X 為燈泡壽命，檢定 H0: μ≤100 對 H1: μ>100，α=0.01，n=50。因母體標準差未知，採單尾 t 檢定，df=49。檢定統計量 t=(104-100)/(12/√50)=4/1.697≈2.357。
- 二、查表 t0.01,49≈2.405；2.357<2.405，故不拒絕 H0，p 值約 0.011，略大於 0.01。結論：在 1% 水準下，證據不足以支持廠商宣稱。若以 z 近似，z0.01=2.326，2.357>2.326 會拒絕，p≈0.009；正式採 t 檢定，並應說明此邊際差異。
- 三、第二小題設 L 為壽命。出廠即瑕疵者 L=0，機率 0.005；非瑕疵者占 0.995，且 L|非瑕疵~Exp（指數分配，平均數 105）。指數分配累積機率 F(5)=1-e^(-5/105)=1-e^(-0.04762)≈0.0465。
- 四、以全機率公式：P(L<5)=0.005×1+0.995×0.0465≈0.005+0.0463=0.0513，即約 5.13%。注意瑕疵品必須計入「壽命低於 5 天」，不可只算指數分配部分。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。