假設手機的應用程式之生命週期（y）（單位：年）與其發布後半年內的 下載次數（x）服從線性模型，y x e

題目

假設手機的應用程式之生命週期（y）（單位：年）與其發布後半年內的 下載次數（x）服從線性模型，y x e ，其中e 服從 (0, ) N 。 若隨機取樣12 款已經被市場淘汰之應用程式，得到以下數據： 6345, 4050445, 39.64, 152.7, x x y y xy ， 且判定係數為0.9288。（每小題10 分，共20 分） 試求回歸方程式與β 的95%信賴區間。 若一新款應用程式發布後半年內被下載500 次，試求其生命週期的 95%預測區間。 附表一：z 表 Example: If z=1.96, then (0 to z)=0.4750 附表二：t 表 Example: With df =9 and .10 area in the upper tail, t =1.383 附表三：χ2 表 Example: With 17 df and a 0.02 area in the upper tail,X2=30.995 附表四：F 表 附表五：F 表

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、模型為 y=β0+β1x+e，e~N(0,σ²)，n=12。由資料得 x̄=6345/12=528.75，ȳ=39.64/12=3.3033；Sxx=4,050,445-6345²/12=695,526.25，Syy=152.7-39.64²/12=21.7559。題面 Σxy 未完整顯示；由 R²=0.9288 僅能回推 |Sxy|=√(R²SxxSyy)≈3,748.9，符號需另判。
• 二、若依下載次數與生命週期之正向關係取 Sxy=+3,748.9，則 Σxy≈24,708.6，b1=Sxy/Sxx≈0.005390，b0=ȳ-b1x̄≈0.4533，故 ŷ=0.4533+0.005390x。若原卷有給 Σxy，應直接以原值計算；若斜率為負，則整組符號相反。
• 三、β1 的 95% 信賴區間：SSE=Syy(1-R²)=21.7559×0.0712≈1.5490，MSE=SSE/(n-2)=0.1549；SE(b1)=√(MSE/Sxx)≈0.0004719。t0.025,10=2.228，故 b1±t×SE=0.005390±0.001052，約為 (0.00434, 0.00644)。此處以 β1（斜率）作答；若題目 β 指截距，需改用 SE(b0)=√[MSE(1/n+x̄²/Sxx)]。
• 四、x0=500 時，ŷ=0.4533+0.005390×500≈3.1484 年。預測區間之標準誤為 SEpred=√[MSE(1+1/n+(x0-x̄)²/Sxx)]=√[0.1549×1.08452]≈0.4099；t0.025,10=2.228，故區間為 3.1484±2.228×0.4099=3.1484±0.9133，約 (2.235, 4.062) 年。
• 五、上述數值建立在「Σxy 可由 R² 回推且取正斜率」之假設；嚴格而言，題目資料缺漏，無法得出唯一數值。若 Σxy 未給或正負號不明，只能寫出 b1=Sxy/Sxx、b0=ȳ-b1x̄ 及區間公式，不能宣稱唯一方程式。另預測區間比平均數信賴區間寬，因含新觀測的隨機誤差。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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