民國115年 普通考試 統計 統計學概要
第1題
2026 年金融市場見證了比特幣角色的重大轉變。隨美伊衝突升溫，黃 金發揮避險功能大幅飆升，比特幣卻因其高風險係數屬性隨流動性收縮 而下跌。研究員欲探討比特幣月…
題目
2026 年金融市場見證了比特幣角色的重大轉變。隨美伊衝突升溫，黃 金發揮避險功能大幅飆升，比特幣卻因其高風險係數屬性隨流動性收縮 而下跌。研究員欲探討比特幣月收益率（以變數Y 表示，%）與黃金月 收益率（以變數X 表示，%）的關係，隨機抽取18 個月份的數據做分 析。（每小題10 分，共30 分） 若用最小平方法，以黃金月收益率（X ）為自變數，比特幣月收益率 （Y ）為應變數，建立簡單直線迴歸模型，得ˆ Y X ，判定係數為 0.36 R ，且已知這18 個月黃金月平均收益率為8。請以Y 為自變數， X 為應變數，用最小平方法建立簡單直線迴歸模型。 續題 ，若考慮簡單直線迴歸模型 1,2,...,18 i i i Y X i ， ，且假 設誤差 , , ..., 彼此相互獨立且服從平均數為0，變異數為 之常 態分配，求檢定虛無假設 : H 之t 檢定統計量之值。 續題 ，若研究員因研究之需求，將變數進行線性轉換，定義新變數 i i D X 及 1,2,...,18 i i E Y i ， 。請以 iD 為自變數， iE 為應變數， 用最小平方法建立新的簡單直線迴歸模型。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型設定與逆迴歸（reverse regression）的關係：以黃金月收益率 X 為自變數、比特幣月收益率 Y 為應變數時，最小平方迴歸線為 Ŷ＝a＋bX，斜率 b＝r·(S_Y／S_X)，判定係數（coefficient of determination）R²＝r²＝0.36，故相關係數 r＝±0.6，符號與 b 相同。若改以 Y 為自變數、X 為應變數，其斜率 b'＝r·(S_X／S_Y)，兩斜率乘積 b·b'＝r²＝0.36，因此 b'＝0.36／b，此為本題最關鍵的結構關係。
- 二、逆迴歸線的求法：逆迴歸線必通過點 (Ȳ, X̄)，故 X̂＝a'＋b'Y，其中 b'＝0.36／b，a'＝X̄－b'·Ȳ＝8－(0.36／b)·Ȳ；又原迴歸線通過 (X̄, Ȳ)，故 Ȳ＝a＋8b，代入得 X̂＝8－(0.36／b)(a＋8b)＋(0.36／b)Y。須注意 b' 不是 b 的倒數，逆迴歸線亦非原迴歸線的反函數，兩者僅在 R²＝1 時重合。題幹所給 Ŷ 之具體係數 a、b 在轉錄中缺漏，無法得出唯一數值，考生應以題給 a、b 代入上述公式。
- 三、斜率之 t 檢定統計量：檢定 H0：β1＝0 對 H1：β1≠0，統計量 t＝b／SE(b)。因 t²＝F＝R²(n－2)／(1－R²)，以 n＝18、R²＝0.36 代入得 t²＝0.36×16／0.64＝9，故 |t|＝3.0，正負號與 b 相同，自由度為 n－2＝16。此小題不必知道 b 的數值即可求得，是本題的關鍵技巧；在 α＝0.05 雙尾檢定下（臨界值約 2.12）應拒絕 H0，結論為黃金收益率對比特幣收益率有顯著線性影響。
- 四、線性轉換後的新迴歸模型：設 D_i＝c1＋c2·X_i、E_i＝d1＋d2·Y_i，則 Cov(E,D)＝c2·d2·Cov(X,Y)、Var(D)＝c2²·Var(X)，故新斜率 b_ED＝(d2／c2)·b，新截距為 Ē－b_ED·D̄，R² 與 |t| 皆不變。若題意為中心化（centering），即 D_i＝X_i－8、E_i＝Y_i－Ȳ，則新迴歸線簡化為 Ê＝b·D，截距為 0，迴歸線必過原點。轉換常數於題幹轉錄中缺漏，作答時應先辨明平移或縮放再套用上述規則。
- 五、作答提醒與限制：線性轉換下斜率隨尺度縮放、截距隨平移調整，判定係數與檢定結論具不變性（invariance），此為常考重點。另提醒逆迴歸最小化的是水平方向距離而非垂直距離，其係數不宜直接反解為 Ŷ 的預測式；答題時應標明單位（%）、寫出 b 的正負號，並以 |t| 與臨界值比較，避免方向性誤判。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。