AI 正從螢幕虛擬層面跨足實體世界。亞馬遜與寶馬等巨頭透過AI 調度 物流機器人，實現倉儲與生產線的自主作業，大幅優化生產效率與精確 度。在某自動化智慧倉儲中，…

題目

AI 正從螢幕虛擬層面跨足實體世界。亞馬遜與寶馬等巨頭透過AI 調度 物流機器人，實現倉儲與生產線的自主作業，大幅優化生產效率與精確 度。在某自動化智慧倉儲中，大量物流機器人負責搬運貨物。根據大數 據監控，每台機器人在執行單次精密對接任務時，成功的機率為p，且 已知每次任務成功與否彼此相互獨立。（每小題10 分，共20 分） 令變數R為該機器人「直到第一次對接失敗為止，所需對接次數」。假 設有n 台獨立運作的機器人，其直到第一次對接失敗為止所需對接次 數，分別定義為 , ,..., n R R R 。請利用隨機樣本 , ,..., n R R R ，求出該機器 人能連續穩定運作了50 次任務而未出錯之下，但在接下來的2 次任 務內會出錯的條件機率[ 52 | 50] P R R 的動差法估計量（method of moments estimator）。 令變數W 為該機器人「直到發生第二次對接成功時，期間所累積的失 敗次數」，求出W 之期望值。

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、機率結構：令 q＝1－p 為單次對接失敗機率，R 為直到第一次失敗所需的對接次數，服從幾何分配（geometric distribution），P(R＝r)＝p^(r－1)·q，r＝1,2,…，且 E(R)＝1／q。由無記憶性（memoryless property），P(R＞50)＝p^50，P(50＜R≤52)＝p^50·q＋p^51·q＝p^50·q(1＋p)，故目標參數 θ＝P(R≤52|R＞50)＝q(1＋p)＝1－p²，顯示此條件機率僅與 p 有關。
• 二、動差法估計量（method of moments estimator, MOME）：以樣本平均數 R̄ 取代 E(R)，由 1／(1－p)＝R̄ 得 p̂＝1－1／R̄、q̂＝1／R̄。再將 θ＝2q－q² 中的 q 以 q̂ 代入（plug-in），得 θ̂＝2／R̄－1／R̄²＝1－(1－1／R̄)²。因 R̄≥1，θ̂ 必落於 [0,1] 之內，無須截斷，且由大數法則可知 θ̂ 具一致性（consistency）。
• 三、W 的機率分配：W 為「直到第二次成功」期間累積的失敗次數，服從負二項分配（negative binomial distribution）NB(r＝2, p)，可表為 W＝Y1＋Y2，其中 Yi 為第 i 次成功前之失敗次數，彼此獨立且同為參數 q 的幾何分配。其機率質量函數（probability mass function, pmf）為 P(W＝w)＝C(w＋1,1)·p²·q^w＝(w＋1)p²(1－p)^w，w＝0,1,2,…，各機率之和為 1。
• 四、W 的期望值：由 E(Yi)＝q／p，得 E(W)＝2q／p＝2(1－p)／p，變異數為 Var(W)＝2q／p²＝2(1－p)／p²。例如 p＝0.9 時 E(W)＝0.2／0.9≈0.222 次，符合成功率高則失敗次數少的直覺。答題時務必先聲明 p 為「對接成功」機率、q 為失敗機率，並註明 W 與 R 的定義差異（W 只計失敗次數）。
• 五、提醒與限制：動差法僅使用一階動差，本例與最大概似估計（maximum likelihood estimator, MLE）所得 p̂ 相同，但一般情形兩者不必然一致，且動差法不保證有效性（efficiency）與不偏性。另本題成敗定義須與題幹一致，W 與 R 相差成功次數與 1，切勿混用；答題宜附註估計量之抽樣性質，以展現層次。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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