民國115年 普通考試 統計 統計學概要考古題

民國115年 普通考試 統計 統計學概要收錄考選部官方試題，共 3 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。

官方資料

題目與答案

第1題

2026 年金融市場見證了比特幣角色的重大轉變。隨美伊衝突升溫，黃 金發揮避險功能大幅飆升，比特幣卻因其高風險係數屬性隨流動性收縮 而下跌。研究員欲探討比特幣月收益率（以變數Y 表示，%）與黃金月 收益率（以變數X 表示，%）的關係，隨機抽取18 個月份的數據做分 析。（每小題10 分，共30 分） 若用最小平方法，以黃金月收益率（X ）為自變數，比特幣月收益率 （Y ）為應變數，建立簡單直線迴歸模型，得ˆ Y X ，判定係數為 0.36 R ，且已知這18 個月黃金月平均收益率為8。請以Y 為自變數， X 為應變數，用最小平方法建立簡單直線迴歸模型。 續題 ，若考慮簡單直線迴歸模型 1,2,...,18 i i i Y X i ， ，且假 設誤差 , , ..., 彼此相互獨立且服從平均數為0，變異數為 之常 態分配，求檢定虛無假設 : H 之t 檢定統計量之值。 續題 ，若研究員因研究之需求，將變數進行線性轉換，定義新變數 i i D X 及 1,2,...,18 i i E Y i ， 。請以 iD 為自變數， iE 為應變數， 用最小平方法建立新的簡單直線迴歸模型。

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、模型設定與逆迴歸（reverse regression）的關係：以黃金月收益率 X 為自變數、比特幣月收益率 Y 為應變數時，最小平方迴歸線為 Ŷ＝a＋bX，斜率 b＝r·(S_Y／S_X)，判定係數（coefficient of determination）R²＝r²＝0.36，故相關係數 r＝±0.6，符號與 b 相同。若改以 Y 為自變數、X 為應變數，其斜率 b'＝r·(S_X／S_Y)，兩斜率乘積 b·b'＝r²＝0.36，因此 b'＝0.36／b，此為本題最關鍵的結構關係。
  • 二、逆迴歸線的求法：逆迴歸線必通過點 (Ȳ, X̄)，故 X̂＝a'＋b'Y，其中 b'＝0.36／b，a'＝X̄－b'·Ȳ＝8－(0.36／b)·Ȳ；又原迴歸線通過 (X̄, Ȳ)，故 Ȳ＝a＋8b，代入得 X̂＝8－(0.36／b)(a＋8b)＋(0.36／b)Y。須注意 b' 不是 b 的倒數，逆迴歸線亦非原迴歸線的反函數，兩者僅在 R²＝1 時重合。題幹所給 Ŷ 之具體係數 a、b 在轉錄中缺漏，無法得出唯一數值，考生應以題給 a、b 代入上述公式。
  • 三、斜率之 t 檢定統計量：檢定 H0：β1＝0 對 H1：β1≠0，統計量 t＝b／SE(b)。因 t²＝F＝R²(n－2)／(1－R²)，以 n＝18、R²＝0.36 代入得 t²＝0.36×16／0.64＝9，故 |t|＝3.0，正負號與 b 相同，自由度為 n－2＝16。此小題不必知道 b 的數值即可求得，是本題的關鍵技巧；在 α＝0.05 雙尾檢定下（臨界值約 2.12）應拒絕 H0，結論為黃金收益率對比特幣收益率有顯著線性影響。
  • 四、線性轉換後的新迴歸模型：設 D_i＝c1＋c2·X_i、E_i＝d1＋d2·Y_i，則 Cov(E,D)＝c2·d2·Cov(X,Y)、Var(D)＝c2²·Var(X)，故新斜率 b_ED＝(d2／c2)·b，新截距為 Ē－b_ED·D̄，R² 與 |t| 皆不變。若題意為中心化（centering），即 D_i＝X_i－8、E_i＝Y_i－Ȳ，則新迴歸線簡化為 Ê＝b·D，截距為 0，迴歸線必過原點。轉換常數於題幹轉錄中缺漏，作答時應先辨明平移或縮放再套用上述規則。
  • 五、作答提醒與限制：線性轉換下斜率隨尺度縮放、截距隨平移調整，判定係數與檢定結論具不變性（invariance），此為常考重點。另提醒逆迴歸最小化的是水平方向距離而非垂直距離，其係數不宜直接反解為 Ŷ 的預測式；答題時應標明單位（%）、寫出 b 的正負號，並以 |t| 與臨界值比較，避免方向性誤判。

第2題

AI 正從螢幕虛擬層面跨足實體世界。亞馬遜與寶馬等巨頭透過AI 調度 物流機器人，實現倉儲與生產線的自主作業，大幅優化生產效率與精確 度。在某自動化智慧倉儲中，大量物流機器人負責搬運貨物。根據大數 據監控，每台機器人在執行單次精密對接任務時，成功的機率為p，且 已知每次任務成功與否彼此相互獨立。（每小題10 分，共20 分） 令變數R為該機器人「直到第一次對接失敗為止，所需對接次數」。假 設有n 台獨立運作的機器人，其直到第一次對接失敗為止所需對接次 數，分別定義為 , ,..., n R R R 。請利用隨機樣本 , ,..., n R R R ，求出該機器 人能連續穩定運作了50 次任務而未出錯之下，但在接下來的2 次任 務內會出錯的條件機率[ 52 | 50] P R R 的動差法估計量（method of moments estimator）。 令變數W 為該機器人「直到發生第二次對接成功時，期間所累積的失 敗次數」，求出W 之期望值。

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、機率結構：令 q＝1－p 為單次對接失敗機率，R 為直到第一次失敗所需的對接次數，服從幾何分配（geometric distribution），P(R＝r)＝p^(r－1)·q，r＝1,2,…，且 E(R)＝1／q。由無記憶性（memoryless property），P(R＞50)＝p^50，P(50＜R≤52)＝p^50·q＋p^51·q＝p^50·q(1＋p)，故目標參數 θ＝P(R≤52|R＞50)＝q(1＋p)＝1－p²，顯示此條件機率僅與 p 有關。
  • 二、動差法估計量（method of moments estimator, MOME）：以樣本平均數 R̄ 取代 E(R)，由 1／(1－p)＝R̄ 得 p̂＝1－1／R̄、q̂＝1／R̄。再將 θ＝2q－q² 中的 q 以 q̂ 代入（plug-in），得 θ̂＝2／R̄－1／R̄²＝1－(1－1／R̄)²。因 R̄≥1，θ̂ 必落於 [0,1] 之內，無須截斷，且由大數法則可知 θ̂ 具一致性（consistency）。
  • 三、W 的機率分配：W 為「直到第二次成功」期間累積的失敗次數，服從負二項分配（negative binomial distribution）NB(r＝2, p)，可表為 W＝Y1＋Y2，其中 Yi 為第 i 次成功前之失敗次數，彼此獨立且同為參數 q 的幾何分配。其機率質量函數（probability mass function, pmf）為 P(W＝w)＝C(w＋1,1)·p²·q^w＝(w＋1)p²(1－p)^w，w＝0,1,2,…，各機率之和為 1。
  • 四、W 的期望值：由 E(Yi)＝q／p，得 E(W)＝2q／p＝2(1－p)／p，變異數為 Var(W)＝2q／p²＝2(1－p)／p²。例如 p＝0.9 時 E(W)＝0.2／0.9≈0.222 次，符合成功率高則失敗次數少的直覺。答題時務必先聲明 p 為「對接成功」機率、q 為失敗機率，並註明 W 與 R 的定義差異（W 只計失敗次數）。
  • 五、提醒與限制：動差法僅使用一階動差，本例與最大概似估計（maximum likelihood estimator, MLE）所得 p̂ 相同，但一般情形兩者不必然一致，且動差法不保證有效性（efficiency）與不偏性。另本題成敗定義須與題幹一致，W 與 R 相差成功次數與 1，切勿混用；答題宜附註估計量之抽樣性質，以展現層次。

第3題

當前全球進入半導體軍備競賽，先進製程與AI 晶片已成為決定科技霸 權的戰略制高點。某跨國晶圓代工巨頭為評估海外新設「AI 先進製程晶 圓廠」的曝光機之設備穩定度，針對極紫外光曝光後晶圓特定關鍵區域 上的微粒缺陷數進行抽樣檢測。根據歷史數據顯示，該區域的微粒缺陷 數（以變數X 表示）服從下列之機率分配： 0.3, ( ) 0.4, 0.3, x f x x x （極佳） （合格） （瑕疵） 現製程良率工程師隨機檢測2 片晶圓並觀測該特定關鍵區域的微粒數， 記為隨機樣本 , X X ，並計算其樣本平均數 X X X 與樣本標準差 ( ) ( ) 2 1 X X X X S 。假設 X 與 X 彼此相互獨立。（每小題10 分，共50 分） 求樣本標準差S 之機率密度函數。 求樣本平均數X 與樣本標準差S 之間的共變異數 ( , ) cov X S 。 求 X 之下，樣本標準差S 之條件期望值( | 1) E S X 。 根據歷史數據顯示，該極紫外光曝光機在對每片晶圓進行曝光時，特 定關鍵區域「無微粒缺陷」（即完全達標合格）的機率為0.3，且每片 晶圓的檢測結果彼此相互獨立。若該區域出現微粒缺陷，則視為一次 「出錯或失敗」。工程師為了進行設備耐受度測試，設定曝光機必須直 到累積發生第2 次「無微粒缺陷」（合格）時才停止測試。令隨機變數 W 表示在此期間該曝光機所累積的「出錯（失敗）次數」。請寫出W 的機率密度函數。 續題 ，品管團隊關心曝光機的連續穩定運作能力。令隨機變數R 為 該曝光機檢測「直到第一次發生微粒缺陷（出錯）」為止，所累積的總 曝光晶圓次數（含出錯的那一次）。求該曝光機在連續穩定運作了100 次任務而未出錯的條件下，在接下來的1 次任務內（即第101 次）也 不會出錯的條件機率[ 101| 100] P R R 。

參考解答（AI 生成，非官方）

  • 一、S 之機率分配：X 取值 0、1、2（極佳、合格、瑕疵），機率分別為 0.3、0.4、0.3。n＝2 時 S²＝[(X1－X̄)²＋(X2－X̄)²]／(2－1)＝(X1－X2)²／2，故 S＝|X1－X2|／√2。計算差值機率：P(X1－X2＝0)＝0.34，＝±1 各 0.24，＝±2 各 0.09。故 S 為離散型（題稱密度函數，實為機率質量函數 pmf）：P(S＝0)＝0.34、P(S＝1／√2≈0.707)＝0.48、P(S＝√2≈1.414)＝0.18，其餘為 0，期望值 E(S)≈0.594。
  • 二、cov(X̄, S)：令 U＝X1＋X2、V＝X1－X2，則 X̄＝U／2、S＝|V|／√2，cov(X̄,S)＝cov(U,|V|)／(2√2)。逐點計算得 E(U|V|)＝1.68、E(U)＝2、E|V|＝0.48×1＋0.18×2＝0.84，故 cov(U,|V|)＝1.68－2×0.84＝0，即 cov(X̄,S)＝0。另解：因分配對稱於 1，給定 V 後 E(U|V) 恆等於 2＝E(U)，條件期望不隨 V 變動，故共變異數為 0，與對稱分配下 cov(X̄,S²)＝0 之性質一致。
  • 三、E(S|X̄＝1)：X̄＝1 等價於 X1＋X2＝2，樣本點為 (0,2)、(1,1)、(2,0)，機率和為 0.34。在此條件下 S＝0（樣本點 (1,1)，機率 0.16）或 S＝√2（樣本點 (0,2)、(2,0)，合計 0.18），故 E(S|X̄＝1)＝√2×(0.18／0.34)＝(9／17)√2≈0.7487。此小題顯示 S 與 X̄ 雖共變異數為 0，卻不獨立（給定 X̄ 後 S 之分配明顯改變），為重要觀念。
  • 四、W 的機率質量函數：無微粒缺陷（成功）機率 0.3、出錯（失敗）機率 0.7，測試至累積第 2 次成功為止，W 為期間失敗次數，服從 NB(2, 0.3)：P(W＝w)＝C(w＋1,1)(0.3)²(0.7)^w＝0.09(w＋1)(0.7)^w，w＝0、1、2、…。其期望值 E(W)＝2×0.7／0.3＝14／3≈4.667 次，變異數為 2×0.7／0.3²≈15.56，可作為品管評估測試成本之依據。
  • 五、條件機率與提醒：R 為首次出錯之總曝光次數，服從參數 0.7 的幾何分配，P(R＝r)＝0.3^(r－1)×0.7，P(R＞k)＝0.3^k；由無記憶性，P(R＞101|R＞100)＝0.3^101／0.3^100＝0.3。若題意解為「第 101 次恰好出錯」，則為 P(R＝101|R＞100)＝0.7，須依題末不等號方向判定。另提醒 S 為離散型，不可寫成連續密度；共變異數為 0 不等於獨立，為常見陷阱。