民國115年 普通考試 統計 統計學概要
第3題
當前全球進入半導體軍備競賽，先進製程與AI 晶片已成為決定科技霸 權的戰略制高點。某跨國晶圓代工巨頭為評估海外新設「AI 先進製程晶 圓廠」的曝光機之設備穩定度…
題目
當前全球進入半導體軍備競賽，先進製程與AI 晶片已成為決定科技霸 權的戰略制高點。某跨國晶圓代工巨頭為評估海外新設「AI 先進製程晶 圓廠」的曝光機之設備穩定度，針對極紫外光曝光後晶圓特定關鍵區域 上的微粒缺陷數進行抽樣檢測。根據歷史數據顯示，該區域的微粒缺陷 數（以變數X 表示）服從下列之機率分配： 0.3, ( ) 0.4, 0.3, x f x x x （極佳） （合格） （瑕疵） 現製程良率工程師隨機檢測2 片晶圓並觀測該特定關鍵區域的微粒數， 記為隨機樣本 , X X ，並計算其樣本平均數 X X X 與樣本標準差 ( ) ( ) 2 1 X X X X S 。假設 X 與 X 彼此相互獨立。（每小題10 分，共50 分） 求樣本標準差S 之機率密度函數。 求樣本平均數X 與樣本標準差S 之間的共變異數 ( , ) cov X S 。 求 X 之下，樣本標準差S 之條件期望值( | 1) E S X 。 根據歷史數據顯示，該極紫外光曝光機在對每片晶圓進行曝光時，特 定關鍵區域「無微粒缺陷」（即完全達標合格）的機率為0.3，且每片 晶圓的檢測結果彼此相互獨立。若該區域出現微粒缺陷，則視為一次 「出錯或失敗」。工程師為了進行設備耐受度測試，設定曝光機必須直 到累積發生第2 次「無微粒缺陷」（合格）時才停止測試。令隨機變數 W 表示在此期間該曝光機所累積的「出錯（失敗）次數」。請寫出W 的機率密度函數。 續題 ，品管團隊關心曝光機的連續穩定運作能力。令隨機變數R 為 該曝光機檢測「直到第一次發生微粒缺陷（出錯）」為止，所累積的總 曝光晶圓次數（含出錯的那一次）。求該曝光機在連續穩定運作了100 次任務而未出錯的條件下，在接下來的1 次任務內（即第101 次）也 不會出錯的條件機率[ 101| 100] P R R 。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、S 之機率分配：X 取值 0、1、2（極佳、合格、瑕疵），機率分別為 0.3、0.4、0.3。n＝2 時 S²＝[(X1－X̄)²＋(X2－X̄)²]／(2－1)＝(X1－X2)²／2，故 S＝|X1－X2|／√2。計算差值機率：P(X1－X2＝0)＝0.34，＝±1 各 0.24，＝±2 各 0.09。故 S 為離散型（題稱密度函數，實為機率質量函數 pmf）：P(S＝0)＝0.34、P(S＝1／√2≈0.707)＝0.48、P(S＝√2≈1.414)＝0.18，其餘為 0，期望值 E(S)≈0.594。
- 二、cov(X̄, S)：令 U＝X1＋X2、V＝X1－X2，則 X̄＝U／2、S＝|V|／√2，cov(X̄,S)＝cov(U,|V|)／(2√2)。逐點計算得 E(U|V|)＝1.68、E(U)＝2、E|V|＝0.48×1＋0.18×2＝0.84，故 cov(U,|V|)＝1.68－2×0.84＝0，即 cov(X̄,S)＝0。另解：因分配對稱於 1，給定 V 後 E(U|V) 恆等於 2＝E(U)，條件期望不隨 V 變動，故共變異數為 0，與對稱分配下 cov(X̄,S²)＝0 之性質一致。
- 三、E(S|X̄＝1)：X̄＝1 等價於 X1＋X2＝2，樣本點為 (0,2)、(1,1)、(2,0)，機率和為 0.34。在此條件下 S＝0（樣本點 (1,1)，機率 0.16）或 S＝√2（樣本點 (0,2)、(2,0)，合計 0.18），故 E(S|X̄＝1)＝√2×(0.18／0.34)＝(9／17)√2≈0.7487。此小題顯示 S 與 X̄ 雖共變異數為 0，卻不獨立（給定 X̄ 後 S 之分配明顯改變），為重要觀念。
- 四、W 的機率質量函數：無微粒缺陷（成功）機率 0.3、出錯（失敗）機率 0.7，測試至累積第 2 次成功為止，W 為期間失敗次數，服從 NB(2, 0.3)：P(W＝w)＝C(w＋1,1)(0.3)²(0.7)^w＝0.09(w＋1)(0.7)^w，w＝0、1、2、…。其期望值 E(W)＝2×0.7／0.3＝14／3≈4.667 次，變異數為 2×0.7／0.3²≈15.56，可作為品管評估測試成本之依據。
- 五、條件機率與提醒：R 為首次出錯之總曝光次數，服從參數 0.7 的幾何分配，P(R＝r)＝0.3^(r－1)×0.7，P(R＞k)＝0.3^k；由無記憶性，P(R＞101|R＞100)＝0.3^101／0.3^100＝0.3。若題意解為「第 101 次恰好出錯」，則為 P(R＝101|R＞100)＝0.7，須依題末不等號方向判定。另提醒 S 為離散型，不可寫成連續密度；共變異數為 0 不等於獨立，為常見陷阱。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。