民國111年 普通考試 經建行政 統計學概要
第5題
「身高體重指數」（BodyMassIndex）是以身高、體重比例計算之指標，計算 公式為：體重（公斤）／身高平方（公尺平方）。「體脂肪率」（Body Fat P…
題目
「身高體重指數」（BodyMassIndex）是以身高、體重比例計算之指標，計算 公式為：體重（公斤）／身高平方（公尺平方）。「體脂肪率」（Body Fat Percentage）是全身脂肪重量占體重的比例。王主任隨機抽取20 位60 歲以 上男性，資料顯示兩變數之樣本相關係數為 0.56，以「身高體重指數」（y）對「體脂肪率」 （x）作線性迴歸，得到估計的標準誤（standard error of estimate）為5，以及右方殘差圖： 試寫出ANOVA 表。（10 分） 試求判定係數（coefficientofdetermination） 並解釋其意義。（5 分） 在顯著水準0.05 下，試檢定斜率係數是 否為正值。（10 分） 根據殘差圖試說明迴歸模型之假設是否 合理。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、迴歸 ANOVA 表的建立：樣本數 n＝20，自變數個數 k＝1，迴歸自由度為 1、殘差自由度為 n－2＝18。由估計標準誤（standard error of estimate）s＝√MSE＝5，得 SSE＝(n－2)s²＝18×25＝450，MSE＝25。又判定係數 R²＝r²＝0.56²＝0.3136，且 SSE＝SST(1－R²)，故 SST＝450/(1－0.3136)＝450/0.6864≒655.59，SSR＝SST－SSE≒205.59。
- 二、ANOVA 表內容：迴歸來源 SSR＝205.59、df＝1、MSR＝205.59；殘差來源 SSE＝450、df＝18、MSE＝25；合計 SST＝655.59、df＝19。F＝MSR/MSE＝205.59/25＝8.224。此表可用於檢定迴歸模型整體是否有解釋力，F(1,18) 的 0.05 臨界值為 4.41，因 8.224＞4.41，模型具顯著解釋力。
- 三、判定係數及其意義：R²＝0.3136，即身高體重指數（BMI）的總變異中，約有 31.36% 可由體脂肪率（body fat percentage）的線性迴歸加以解釋，其餘約 68.64% 屬於殘差變異，來自其他未納入模型的因素與隨機誤差。此數值顯示兩變數僅具中度正相關，以體脂肪率單一變數預測 BMI 的解釋力有限。
- 四、斜率是否為正之檢定：H₀：β₁≦0，H₁：β₁＞0（單尾）。檢定統計量 t＝b₁/se(b₁)，且因單一自變數時 t²＝F，故 t＝√8.224＝2.868。查表 t₀.₀₅(18)＝1.734，因 2.868＞1.734（單尾 p 值約 0.005），拒絕 H₀，可認定體脂肪率對 BMI 有顯著正向影響，與樣本相關係數 0.56 為正相符。
- 五、殘差圖與模型假設之診斷：題目所述殘差圖未能呈現，無法據以判定。一般而言應檢視三點：殘差是否隨機散佈於 0 附近且無明顯曲線趨勢（線性假設）、殘差變異是否隨配適值呈喇叭狀擴散（變異數同質性）、以及是否有極端離群值或影響點。若呈現系統性彎曲或漏斗形，則迴歸模型設定可能不妥，宜考慮變數轉換或加入二次項；因圖形資料缺漏，此部分無法得出唯一結論。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。