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民國111年 普通考試 經建行政 統計學概要收錄考選部官方試題，共 5 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
以下是甲、乙二地區之人口分布，以及C 流行病在各年齡層之確診率與
致死率。
人口分布（％）：
0-19
20-29
30-39
40-49
50-59
60-69
>=70
甲
15.5
10.5
12.5
15.0
17.5
14.5
14.5
乙
21.0
13.5
17.5
15.0
16.5
12.5
4.0
各年齡層之確診率（％）：
0-19
20-29
30-39
40-49
50-59
60-69
>=70
甲
2.5
3.5
6.5
10.5
15.0
25.5
36.5
乙
3.0
6.5
15.5
24.0
22.5
16.5
12.0
各年齡層之致死率（％）：
0-19
20-29
30-39
40-49
50-59
60-69
>=70
甲
0.0
0.0
0.0
0.2
0.3
6.5
12.5
乙
0.0
0.2
0.3
0.4
1.5
8.0
13.5
其中，各年齡層之致死率=（該年齡層因C 流行病而死亡之人數）／（該
年齡層之確診人數），各年齡層之確診率=（該年齡層之確診人數）／（所
有年齡層之總確診人數），並依地區分別計算。
試問甲地區人口年齡之中位數落在那個年齡層？（5 分）
不分年齡層之下，試分別計算甲、乙二地區之整體致死率。（10 分）
試說明為何一個地區即使在各年齡層之致死率皆高於另一地區，其整
體致死率仍可能低於另一地區。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、中位數所在年齡層：將甲地區各年齡層人口百分比依序累加，0-19 歲為 15.5%、20-29 歲累積至 26.0%、30-39 歲累積至 38.5%、40-49 歲累積至 53.5%。累積百分比首次跨越 50% 的時點落在 40-49 歲這一組，故甲地區人口年齡的中位數（median）位於 40-49 歲年齡層。若以公式表示，中位數位置為第 50 百分位（50th percentile），內插起點為 38.5%、組距 10 歲、組內人數比例 15.0%，可得約 47.7 歲，仍歸屬於 40-49 歲層。 二、整體致死率的計算原則：題目定義各年齡層致死率＝該層死亡人數／該層確診人數，而各年齡層確診率＝該層確診人數／總確診人數。因此整體致死率（overall case fatality rate, CFR）不能對各層致死率作簡單平均，必須以各層確診人數占總確診人數的比例作為權重，進行加權平均：CFR＝Σ wᵢ fᵢ，其中 wᵢ 為第 i 層確診率、fᵢ 為第 i 層致死率，且 Σ wᵢ＝100%。附帶可驗算，甲、乙兩地區各層確診率合計恰為 100%，符合其為「確診個案之年齡組成」的定義。 三、甲地區整體致死率：wᵢ fᵢ 分別為 2.5×0＝0、3.5×0＝0、6.5×0＝0、10.5×0.2＝2.10、15.0×0.3＝4.50、25.5×6.5＝165.75、36.5×12.5＝456.25，合計 628.60；除以 100 得 6.286%。故甲地區不分年齡層的整體致死率約為 6.29%，亦即每一百名確診者約有 6.3 人死亡。 四、乙地區整體致死率：wᵢ fᵢ 分別為 3.0×0＝0、6.5×0.2＝1.30、15.5×0.3＝4.65、24.0×0.4＝9.60、22.5×1.5＝33.75、16.5×8.0＝132.00、12.0×13.5＝162.00，合計 343.30；除以 100 得 3.433%。故乙地區整體致死率約為 3.43%，低於甲地區的 6.29%。 五、辛普森悖論（Simpson's paradox）的解釋：由計算可見，乙地區在每一個年齡層的致死率均不低於（多數更高於）甲地區，整體致死率卻僅為甲地區的一半左右。原因在於整體致死率是各層致死率的加權平均，而權重（確診個案的年龄結構）兩地差異極大：甲地區 60 歲以上確診者占 25.5%＋36.5%＝62.0%，乙地區僅 16.5%＋12.0%＝28.5%。甲地區的加權重心集中在致死率極高的高齡層，即使各層致死率較低，加權後仍被拉高；乙地區則相反。此現象提醒，比較兩地致死率時應同時報告年齡標準化致死率（age-standardized CFR），或以相同標準人口重新加權，才能避免因年齡組成不同而產生誤導性的結論。
假設ܺଵ, ܺଶ, . . . , ܺଵ為從標準常態機率分配隨機抽取之樣本，今從剛畢業之
社會新鮮人隨機抽取100 人，記錄其首份工作之月薪（萬元），得
ܻଵ, ܻଶ, . . . , ܻଵ。現將此二組數據分別由小至大排序，得ܺ(ଵ) < ܺ(ଶ) <. . . <
ܺ(ଵ)與ܻ(ଵ) < ܻ(ଶ) <. . . < ܻ(ଵ)。若（ܺ(), ܻ()）之分散圖，約為一條截距
為4、斜率為0.5 之直線。試問社會新鮮人首份工作之月薪服從何種機率分
配？又，月薪超過5 萬元之比例為何？（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、由 Q-Q 圖（quantile-quantile plot）推論分配：將標準常態樣本之順序統計量 X₍ᵢ₎ 置於橫軸、月薪順序統計量 Y₍ᵢ₎ 置於縱軸，若散點近似直線，表示 Y 的順序統計量與標準常態分位數呈線性關係。常態分配的 Q-Q 圖理論關係為 Y₍ᵢ₎ ≈ μ＋σX₍ᵢ₎，故直線的截距即母體平均數 μ、斜率即母體標準差 σ。 二、帶入題目數據：直線截距為 4、斜率為 0.5，故 μ＝4（萬元）、σ＝0.5（萬元）。因此社會新鮮人首份工作月薪 Y 服從常態分配（normal distribution），記為 Y～N(4, 0.5²)，即平均月薪 4 萬元、標準差 0.5 萬元、變異數 0.25。此為位置—尺度族（location-scale family）的典型結果。 三、月薪超過 5 萬元之比例：標準化得 Z＝(5－4)/0.5＝2，故 P(Y＞5)＝P(Z＞2)＝1－Φ(2)＝1－0.9772＝0.0228。亦即約有 2.28% 的社會新鮮人首份月薪超過 5 萬元，換算每 1000 人約 23 人。若採查表值 Φ(2)＝0.9772，答案可寫為 0.0228 或 2.28%。
甲部門負責檢查A 產品之品質，給予優、良、可、差四種評等。根據過去
幾年之經驗，A 產品屬於此四個類別之比例分別為10%、30%、40%、20%。
今年隨機抽取A 產品400 件予以檢查，其中屬於此四種評等之比例分別為
12.5%、24%、37.5%、26%。在0.01 顯著水準下，試檢定今年A 產品之品
質評等分布與過去幾年是否相同？（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、檢定方法與假設：本題為單一母體多項分配的適合度檢定（goodness-of-fit test），採皮爾森卡方檢定。虛無假設 H₀：今年品質評等分布與過去相同，即 P＝(0.10, 0.30, 0.40, 0.20)；對立假設 H₁：至少有一類別比例不同。設定顯著水準 α＝0.01，樣本數 n＝400。 二、期望次數與檢定統計量：期望次數 Eᵢ＝n pᵢ，分別為 40、120、160、80；觀察次數 Oᵢ 為 50、96、150、104。統計量 χ²＝Σ(Oᵢ－Eᵢ)²/Eᵢ。各項計算為 (10)²/40＝2.500、(－24)²/120＝4.800、(－10)²/160＝0.625、(24)²/80＝7.200，合計 χ²＝15.125。各格期望次數均大於 5，符合檢定適用條件。 三、拒絕域與判定：自由度為類別數減一，即 df＝4－1＝3。查表得 χ²₀.₀₁(3)＝11.345，拒絕域為 χ²＞11.345。因 15.125＞11.345，故拒絕 H₀。 四、結論與解讀：在 0.01 顯著水準下，有充分證據顯示今年 A 產品的品質評等分布與過去幾年不同。由觀察值可知，「優」與「差」的比例上升（12.5%＞10%、26%＞20%），「良」與「可」的比例下降，其中「差」等第的期望與觀察差距最大，是卡方值的主要來源，建議針對該等第的成因進一步查核製程或檢驗標準。
甲地區設置「樂齡學習中心」，提供A、B 與C 三種課程，這三種課程過去
四期的評鑑分數如下。假設評鑑分數分別為來自三個常態母體之隨機變數，
其母體平均數分別為
B
A
C
、、
，而變異數相同。
A
B
C
試寫出ANOVA 表，並在顯著水準0.05 下，檢定三種課程之評鑑分數
是否相同。（15 分）
試估計母體變異數，並求出
B
A
的95%信賴區間。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、模型設定：設 Yᵢⱼ＝μᵢ＋εᵢⱼ，i＝A、B、C，j＝1,…,4，εᵢⱼ 獨立且服從 N(0, σ²)。檢定 H₀：μ_A＝μ_B＝μ_C，H₁：不全相等。總樣本數 N＝12，組數 k＝3。惟題目所附三組評鑑分數的數值在試題呈現中缺失，僅有欄位名稱 A、B、C，故以下列出完整計算架構與判定規則；題目資料缺漏，無法得出唯一數值。 二、ANOVA 表的結構：總平方和 SST＝ΣΣ(Yᵢⱼ－Ȳ··)²，df＝N－1＝11；組間平方和 SSTR＝4Σ(Ȳᵢ·－Ȳ··)²，df＝k－1＝2，均方 MSTR＝SSTR/2；組內（誤差）平方和 SSE＝SST－SSTR，df＝N－k＝9，均方 MSE＝SSE/9。變異數分析表依序列出來源、平方和、自由度、均方、F 值與 p 值，F＝MSTR/MSE。 三、檢定規則：在 α＝0.05 下，臨界值 F₀.₀₅(2, 9)＝4.26。若計算所得 F＞4.26（或 p 值＜0.05），則拒絕 H₀，判定三種課程評鑑分數之母體平均數不全相等；若 F≦4.26 則不拒絕 H₀。考生應先由三組資料求得各組平均數與總平均，再依上述公式逐步算出平方和，切勿直接比較平均數大小。 四、母體變異數估計與信賴區間：σ² 的不偏估計量為 MSE＝SSE/9。μ_A－μ_B 的 95% 信賴區間為 (Ȳ_A·－Ȳ_B·) ± t₀.₀₂₅(9)×√[MSE×(1/4＋1/4)]，其中 t₀.₀₂₅(9)＝2.262，故區間為 (Ȳ_A·－Ȳ_B·) ± 2.262×√(MSE/2)。若區間不含 0，則可宣稱兩課程評鑑平均數有顯著差異，此與 ANOVA 結論應一致。 五、作答提醒：因原始觀測值未提供，考生僅能呈現公式、自由度、臨界值與判定邏輯；若考試時資料齊備，應實際算出 SST、SSTR、SSE、MSTR、MSE、F 值並列表，同時註明各組常態性與同質變異數假設，必要時輔以殘差診斷。
「身高體重指數」（BodyMassIndex）是以身高、體重比例計算之指標，計算
公式為：體重（公斤）／身高平方（公尺平方）。「體脂肪率」（Body Fat
Percentage）是全身脂肪重量占體重的比例。王主任隨機抽取20 位60 歲以
上男性，資料顯示兩變數之樣本相關係數為
0.56，以「身高體重指數」（y）對「體脂肪率」
（x）作線性迴歸，得到估計的標準誤（standard
error of estimate）為5，以及右方殘差圖：
試寫出ANOVA 表。（10 分）
試求判定係數（coefficientofdetermination）
並解釋其意義。（5 分）
在顯著水準0.05 下，試檢定斜率係數是
否為正值。（10 分）
根據殘差圖試說明迴歸模型之假設是否
合理。（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、迴歸 ANOVA 表的建立：樣本數 n＝20，自變數個數 k＝1，迴歸自由度為 1、殘差自由度為 n－2＝18。由估計標準誤（standard error of estimate）s＝√MSE＝5，得 SSE＝(n－2)s²＝18×25＝450，MSE＝25。又判定係數 R²＝r²＝0.56²＝0.3136，且 SSE＝SST(1－R²)，故 SST＝450/(1－0.3136)＝450/0.6864≒655.59，SSR＝SST－SSE≒205.59。 二、ANOVA 表內容：迴歸來源 SSR＝205.59、df＝1、MSR＝205.59；殘差來源 SSE＝450、df＝18、MSE＝25；合計 SST＝655.59、df＝19。F＝MSR/MSE＝205.59/25＝8.224。此表可用於檢定迴歸模型整體是否有解釋力，F(1,18) 的 0.05 臨界值為 4.41，因 8.224＞4.41，模型具顯著解釋力。 三、判定係數及其意義：R²＝0.3136，即身高體重指數（BMI）的總變異中，約有 31.36% 可由體脂肪率（body fat percentage）的線性迴歸加以解釋，其餘約 68.64% 屬於殘差變異，來自其他未納入模型的因素與隨機誤差。此數值顯示兩變數僅具中度正相關，以體脂肪率單一變數預測 BMI 的解釋力有限。 四、斜率是否為正之檢定：H₀：β₁≦0，H₁：β₁＞0（單尾）。檢定統計量 t＝b₁/se(b₁)，且因單一自變數時 t²＝F，故 t＝√8.224＝2.868。查表 t₀.₀₅(18)＝1.734，因 2.868＞1.734（單尾 p 值約 0.005），拒絕 H₀，可認定體脂肪率對 BMI 有顯著正向影響，與樣本相關係數 0.56 為正相符。 五、殘差圖與模型假設之診斷：題目所述殘差圖未能呈現，無法據以判定。一般而言應檢視三點：殘差是否隨機散佈於 0 附近且無明顯曲線趨勢（線性假設）、殘差變異是否隨配適值呈喇叭狀擴散（變異數同質性）、以及是否有極端離群值或影響點。若呈現系統性彎曲或漏斗形，則迴歸模型設定可能不妥，宜考慮變數轉換或加入二次項；因圖形資料缺漏，此部分無法得出唯一結論。