民國111年 普通考試 經建行政 統計學概要
第4題
甲地區設置「樂齡學習中心」，提供A、B 與C 三種課程，這三種課程過去 四期的評鑑分數如下。假設評鑑分數分別為來自三個常態母體之隨機變數， 其母體平均數分別為…
題目
甲地區設置「樂齡學習中心」，提供A、B 與C 三種課程，這三種課程過去 四期的評鑑分數如下。假設評鑑分數分別為來自三個常態母體之隨機變數， 其母體平均數分別為 B A C 、、 ，而變異數相同。 A B C 試寫出ANOVA 表，並在顯著水準0.05 下，檢定三種課程之評鑑分數 是否相同。（15 分） 試估計母體變異數，並求出 B A 的95%信賴區間。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、模型設定：設 Yᵢⱼ＝μᵢ＋εᵢⱼ，i＝A、B、C，j＝1,…,4，εᵢⱼ 獨立且服從 N(0, σ²)。檢定 H₀：μ_A＝μ_B＝μ_C，H₁：不全相等。總樣本數 N＝12，組數 k＝3。惟題目所附三組評鑑分數的數值在試題呈現中缺失，僅有欄位名稱 A、B、C，故以下列出完整計算架構與判定規則；題目資料缺漏，無法得出唯一數值。
- 二、ANOVA 表的結構：總平方和 SST＝ΣΣ(Yᵢⱼ－Ȳ··)²，df＝N－1＝11；組間平方和 SSTR＝4Σ(Ȳᵢ·－Ȳ··)²，df＝k－1＝2，均方 MSTR＝SSTR/2；組內（誤差）平方和 SSE＝SST－SSTR，df＝N－k＝9，均方 MSE＝SSE/9。變異數分析表依序列出來源、平方和、自由度、均方、F 值與 p 值，F＝MSTR/MSE。
- 三、檢定規則：在 α＝0.05 下，臨界值 F₀.₀₅(2, 9)＝4.26。若計算所得 F＞4.26（或 p 值＜0.05），則拒絕 H₀，判定三種課程評鑑分數之母體平均數不全相等；若 F≦4.26 則不拒絕 H₀。考生應先由三組資料求得各組平均數與總平均，再依上述公式逐步算出平方和，切勿直接比較平均數大小。
- 四、母體變異數估計與信賴區間：σ² 的不偏估計量為 MSE＝SSE/9。μ_A－μ_B 的 95% 信賴區間為 (Ȳ_A·－Ȳ_B·) ± t₀.₀₂₅(9)×√[MSE×(1/4＋1/4)]，其中 t₀.₀₂₅(9)＝2.262，故區間為 (Ȳ_A·－Ȳ_B·) ± 2.262×√(MSE/2)。若區間不含 0，則可宣稱兩課程評鑑平均數有顯著差異，此與 ANOVA 結論應一致。
- 五、作答提醒：因原始觀測值未提供，考生僅能呈現公式、自由度、臨界值與判定邏輯；若考試時資料齊備，應實際算出 SST、SSTR、SSE、MSTR、MSE、F 值並列表，同時註明各組常態性與同質變異數假設，必要時輔以殘差診斷。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。