民國112年 普通考試 經建行政 統計學概要
第3題
某一特徵被認為存在於三種族群，某研究欲檢定各族群具有此一特徵之 比例均為20%。分別從此三個族群中抽取60、120和60的隨機樣本進行測 試，檢驗結果如下表所示…
題目
某一特徵被認為存在於三種族群，某研究欲檢定各族群具有此一特徵之 比例均為20%。分別從此三個族群中抽取60、120和60的隨機樣本進行測 試，檢驗結果如下表所示： 有顯現無顯現 族群一 族群二 族群三 寫出虛無假設與對立假設。（5分） 在顯著水準α=0.05下，寫出檢定統計量、計算過程、棄卻域和結論。（15分） 0.05,4 0.05,3 0.05,2 0.05,3 0.05,4 0.05,2 ( 9.49 7.81 5.99 2.353 2.132 2.920 ) t t t ， ， ， ， ， 。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、假設設定：令 p₁、p₂、p₃ 分別為三族群具有該特徵之比例。H₀：p₁=p₂=p₃=0.20；H₁：至少有一個 p_i≠0.20。採卡方檢定，各組樣本數固定為 60、120、60，顯著水準 α=0.05。
- 二、期望次數：在 H₀ 下，三組「有顯現」之期望次數分別為 60×0.2=12、120×0.2=24、60×0.2=12；「無顯現」之期望次數分別為 48、96、48。期望次數均大於 5，符合卡方檢定之一般適用條件。
- 三、檢定統計量：令三組「有顯現」人數分別為 a、b、c，則 χ²=Σ(O−E)²/E=(a−12)²/12+(60−a−48)²/48+(b−24)²/24+(120−b−96)²/96+(c−12)²/12+(60−c−48)²/48，化簡為 (5/48)(a−12)²+(5/96)(b−24)²+(5/48)(c−12)²。
- 四、自由度與棄卻域：三個族群各自為二項分配，合計六個格子，在組別總數固定下，獨立資訊量為 3，故 df=3；α=0.05 之臨界值 χ²₀.₀₅,₃=7.81，棄卻域為 χ²>7.81。若虛無假設改為「三比例相等但未指定數值」，則 df=2，臨界值為 5.99。
- 五、計算與結論：題目表格之觀察次數未完整呈現，僅知各組樣本數，故無法代入求得唯一 χ² 值；「題目資料缺漏，無法得出唯一數值」。作答時應先補列各族群「有／無顯現」人數，再依上述公式計算；若 χ²>7.81 則棄卻 H₀，表示至少一族群比例不是 20%，反之則無足夠證據。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。