觀測一個平面三角形 ABC 的三個內角，觀測值分別為 A=54 20 21 、 B=62 29 47 、 C=63 10 25 ，這三個觀測量的權比例為3：2：…

題目

觀測一個平面三角形 ABC 的三個內角，觀測值分別為 A=54 20 21 、 B=62 29 47 、 C=63 10 25 ，這三個觀測量的權比例為3：2：1。設 A、 B 的真值分別為x 和y，請列出觀測方程式，並以最小二乘法平差 計算 A、 B、 C 的最或是值，以及x 和y 估計值的標準差。（25 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、條件分析與未知數設定：令 x、y 分別為 A、B 之真值，則 C = 180° − x − y。觀測值 A = 54°20′21″、B = 62°29′47″、C = 63°10′25″，三者和為 180°00′33″，閉合差 w = +33″，需分配 −33″。
• 二、列觀測方程式：設 x = 54°20′21″ + δx、y = 62°29′47″ + δy，並注意 180° − A₀ − B₀ = 63°09′52″，故得 v_A = δx、v_B = δy、v_C = −δx − δy − 33″；權矩陣 P = diag(3, 2, 1)，即權比例 3：2：1。
• 三、組法方程式求解：係數矩陣 A = [[1,0],[0,1],[−1,−1]]，N = AᵀPA = [[4,1],[1,3]]，u = AᵀPl = [−33, −33]ᵀ；解得 δx = −6″、δy = −9″。故 x = 54°20′15″、y = 62°29′38″，C = 180° − x − y = 63°10′07″。
• 四、殘差與單位權中誤差：v = (−6″, −9″, −18″)，Σpv² = 3×36 + 2×81 + 1×324 = 594；多餘觀測數 r = n − u = 3 − 2 = 1，故 σ0 = √(594/1) = 24.4″，屬後驗精度估計。
• 五、x、y 之標準差：N⁻¹ = (1/11)[[3,−1],[−1,4]]，故 σ_x = σ0·√(3/11) = 24.4×0.522 = 12.7″，σ_y = σ0·√(4/11) = 24.4×0.603 = 14.7″；即 A 之精度優於 B，與權重 3：2 之設計一致。
• 六、檢核與說明：三內角平差值之和為 54°20′15″ + 62°29′38″ + 63°10′07″ = 180°00′00″，閉合良好。惟 r = 1 時 σ0 估計之不確定性甚大，實務上宜併用先驗精度；若採先驗 σ0 = 1，則 σ_x = 0.52″、σ_y = 0.60″（單位權）。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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