民國115年 普通考試 測量製圖 誤差理論概要
第3題
甲、乙、丙三人測量同一段距離各數次，平均值分別為98.228 公尺、 98.235 公尺、98.240 公尺及其標準差分別為2.0 公分、1.8 公分、2.4…
題目
甲、乙、丙三人測量同一段距離各數次，平均值分別為98.228 公尺、 98.235 公尺、98.240 公尺及其標準差分別為2.0 公分、1.8 公分、2.4 公 分。試以這三個平均值計算加權平均值與加權平均值的標準差。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、原理—權與變方成反比：三組平均值精度不同，應以權 p_i = σ0²/σ_i² 加權。取單位權中誤差 σ0 = 1（以 cm 為單位），則 p = 1/σ²，得 p₁ = 1/2.0² = 0.2500、p₂ = 1/1.8² = 0.3086、p₃ = 1/2.4² = 0.1736，Σp = 0.7323。
- 二、加權平均值計算：x̄ = Σp_i l_i / Σp_i。以 98.228 m 為基準，三組差值為 0、+0.7、+1.2 cm，則 x̄ = 98.228 + (0.25×0 + 0.3086×0.7 + 0.1736×1.2)/0.7323 = 98.228 + 0.4244/0.7323 = 98.228 + 0.0058 = 98.2338 m。
- 三、加權平均值的標準差：σ_x̄ = σ0/√(Σp) = 1/√0.7323 = 1.169 cm，即約 1.17 cm（0.0117 m）。亦可寫為 σ_x̄ = 1/√(Σ1/σ_i²)，與上式完全等價。
- 四、結果與解讀：加權平均值約 98.2338 m（可取 98.234 m），標準差約 1.17 cm，小於任一單組之 1.8 至 2.4 cm，符合合併觀測提升精度之預期；其中乙組權重最大，對成果影響最顯著。
- 五、注意事項：本題視三組平均值為互相獨立，且所給標準差即為該平均值之標準差；若所給為單次觀測標準差，須先除以 √n 再取權。另加權平均值之標準差隨觀測組數增加而減小，可作為是否增測之依據。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。