民國115年 普通考試 測量製圖 誤差理論概要考古題
民國115年 普通考試 測量製圖 誤差理論概要收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
請說明測量平差計算的目的，以及平差計算的一般流程。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、目的在消除矛盾並求最或是值：同一量重複觀測或幾何條件（如三角形內角和180°）常產生閉合差，平差即依最小二乘原理分配閉合差，使觀測量同時滿足函數條件，求得未知參數的最或是值（most probable value），使加權殘差平方和 Σpv² 為最小。
- 二、精度評估：平差同時產生殘差 v、單位權中誤差 σ0 與協變方矩陣（covariance matrix），可據以推算未知數及任何推估量的標準差、誤差橢圓（error ellipse），作為成果品質判定、取捨與後續網形設計之依據。
- 三、粗差偵測：藉殘差大小、資料探測（data snooping）與 Baarda w-test 等統計檢定，可找出並剔除粗差（gross error），避免錯誤污染成果，並回饋野外作業與儀器狀態之管制。
- 四、流程第一步—建立模式：蒐集觀測量、權與精度資訊，確認觀測量間之幾何或物理條件，選定未知參數，列出觀測方程式（observation equations）或條件方程式（condition equations）；非線性者先以泰勒展開線性化並給定初值。
- 五、流程第二步—組法方程式求解：以 v = Aδ − l 形式組成法方程式（normal equations）N = AᵀPA、u = AᵀPl，解得 δ = N⁻¹u，更新參數並迭代至收斂，再計算殘差、σ0 及協變方矩陣 N⁻¹。
- 六、流程第三步—檢核與輸出：檢核殘差分佈是否合理、σ0 與先驗精度是否相符、有無粗差；未通過者剔除或重測後重算。通過後輸出最或是值、精度指標與平差報告，並歸檔以備稽核。
野外觀測時，為了避免誤差太大或者產生粗差（錯誤），通常會對觀測量
訂定一些簡單的偵錯規則。試舉例說明這些誤差限制值（或稱容許值）
應如何訂定？並請說明理由。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、訂定原則—以儀器標稱精度與作業規範為基礎：容許值（tolerance）通常取儀器標稱精度（如 ±(2mm+2ppm)）或規範所定中誤差 σ 的 2 至 3 倍，即 T = kσ；k=2 時信賴約95%，k=3 時約99.7%，使正常作業幾乎不會誤觸，而粗差極易被檢出。
- 二、閉合差型檢核—例：水準環線閉合差、導線位置閉合差。多依路線長度或測站數訂限，如水準往返測差 ≤ C√S（S 為公里數，C 依等級取 8、12 等），導線閉合差 ≤ 規定值，長度越長容許值越大，反映誤差累積特性。
- 三、重複觀測型檢核—例：測角兩測回互差、距離往返測差、天頂距與高度角之和檢核。通常以 2√2σ 或規範之最大容許差訂定，如方向觀測各測回互差 ≤ 6″，用以偵測讀數、照準或記錄之粗差。
- 四、幾何條件型檢核—例：三角形三內角和應為180°、多邊形內角和、水準環閉合、附合於已知點之坐標差。容許值取 √n·σ 之 2 至 3 倍（n 為參與觀測數），因閉合差之標準差隨觀測數之平方根成長。
- 五、理由—統計檢定觀點：僅含隨機誤差時閉合差近似常態分佈，超過 kσ 之機率極小；以顯著水準 α（如5%或0.3%）設定門檻，可在第一類錯誤（誤判重測）與第二類錯誤（漏判粗差）間取得平衡，具客觀、可稽核之依據。
- 六、實務配套：容許值須與儀器等級、作業方法、點位精度需求相匹配；超限即重測並記錄原因。過嚴將使重測成本過高，過鬆則粗差流入成果，故宜由規範統一訂定並定期依實際精度回饋修訂。
甲、乙、丙三人測量同一段距離各數次，平均值分別為98.228 公尺、
98.235 公尺、98.240 公尺及其標準差分別為2.0 公分、1.8 公分、2.4 公
分。試以這三個平均值計算加權平均值與加權平均值的標準差。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、原理—權與變方成反比：三組平均值精度不同，應以權 p_i = σ0²/σ_i² 加權。取單位權中誤差 σ0 = 1（以 cm 為單位），則 p = 1/σ²，得 p₁ = 1/2.0² = 0.2500、p₂ = 1/1.8² = 0.3086、p₃ = 1/2.4² = 0.1736，Σp = 0.7323。
- 二、加權平均值計算：x̄ = Σp_i l_i / Σp_i。以 98.228 m 為基準，三組差值為 0、+0.7、+1.2 cm，則 x̄ = 98.228 + (0.25×0 + 0.3086×0.7 + 0.1736×1.2)/0.7323 = 98.228 + 0.4244/0.7323 = 98.228 + 0.0058 = 98.2338 m。
- 三、加權平均值的標準差：σ_x̄ = σ0/√(Σp) = 1/√0.7323 = 1.169 cm，即約 1.17 cm（0.0117 m）。亦可寫為 σ_x̄ = 1/√(Σ1/σ_i²)，與上式完全等價。
- 四、結果與解讀：加權平均值約 98.2338 m（可取 98.234 m），標準差約 1.17 cm，小於任一單組之 1.8 至 2.4 cm，符合合併觀測提升精度之預期；其中乙組權重最大，對成果影響最顯著。
- 五、注意事項：本題視三組平均值為互相獨立，且所給標準差即為該平均值之標準差；若所給為單次觀測標準差，須先除以 √n 再取權。另加權平均值之標準差隨觀測組數增加而減小，可作為是否增測之依據。
觀測一個平面三角形 ABC 的三個內角，觀測值分別為 A=54 20 21 、
B=62 29 47 、 C=63 10 25 ，這三個觀測量的權比例為3：2：1。設
A、 B 的真值分別為x 和y，請列出觀測方程式，並以最小二乘法平差
計算 A、 B、 C 的最或是值，以及x 和y 估計值的標準差。（25 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、條件分析與未知數設定：令 x、y 分別為 A、B 之真值，則 C = 180° − x − y。觀測值 A = 54°20′21″、B = 62°29′47″、C = 63°10′25″，三者和為 180°00′33″，閉合差 w = +33″，需分配 −33″。
- 二、列觀測方程式：設 x = 54°20′21″ + δx、y = 62°29′47″ + δy，並注意 180° − A₀ − B₀ = 63°09′52″，故得 v_A = δx、v_B = δy、v_C = −δx − δy − 33″；權矩陣 P = diag(3, 2, 1)，即權比例 3：2：1。
- 三、組法方程式求解：係數矩陣 A = [[1,0],[0,1],[−1,−1]]，N = AᵀPA = [[4,1],[1,3]]，u = AᵀPl = [−33, −33]ᵀ；解得 δx = −6″、δy = −9″。故 x = 54°20′15″、y = 62°29′38″，C = 180° − x − y = 63°10′07″。
- 四、殘差與單位權中誤差：v = (−6″, −9″, −18″)，Σpv² = 3×36 + 2×81 + 1×324 = 594；多餘觀測數 r = n − u = 3 − 2 = 1，故 σ0 = √(594/1) = 24.4″，屬後驗精度估計。
- 五、x、y 之標準差：N⁻¹ = (1/11)[[3,−1],[−1,4]]，故 σ_x = σ0·√(3/11) = 24.4×0.522 = 12.7″，σ_y = σ0·√(4/11) = 24.4×0.603 = 14.7″；即 A 之精度優於 B，與權重 3：2 之設計一致。
- 六、檢核與說明：三內角平差值之和為 54°20′15″ + 62°29′38″ + 63°10′07″ = 180°00′00″，閉合良好。惟 r = 1 時 σ0 估計之不確定性甚大，實務上宜併用先驗精度；若採先驗 σ0 = 1，則 σ_x = 0.52″、σ_y = 0.60″（單位權）。