民國115年 普通考試 電信工程 通信系統概要
第1題
回答下列傅立葉轉換頻率的問題： 若( ) (60 ) x t sin t ，求其頻率f 。（8 分） ( ) X f 非零的頻率位置為何？（8 分） 若( )…
題目
回答下列傅立葉轉換頻率的問題： 若( ) (60 ) x t sin t ，求其頻率f 。（8 分） ( ) X f 非零的頻率位置為何？（8 分） 若( ) (60 ) (20 ) y t sin t sin t ，( ) Y f 非零頻率位置為何？（9 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、頻率的判讀：正弦波 x(t)=sin(2πf₀t) 中，2πf₀ 為角頻率（angular frequency）ω₀，頻率 f₀=ω₀/2π。本題 x(t)=sin(60πt)，故 60π=2πf₀，得 f₀=30 Hz，ω₀=60π rad/s，週期 T=1/30 秒。此為單一頻率（single-tone）訊號，頻譜僅含一根譜線。
- 二、X(f) 非零位置：由 sin(2πf₀t) ↔ (1/2j)[δ(f−f₀)−δ(f+f₀)]，可得 X(f)=(1/2j)[δ(f−30)−δ(f+30)]，故 X(f) 僅在 f=+30 Hz 與 f=−30 Hz 兩處非零，大小各為 1/2，相位相反。因 x(t) 為實數訊號，頻譜具共軛對稱（conjugate symmetry），正負頻率成對出現；若採單邊頻譜觀點，只須標示 +30 Hz。
- 三、乘積訊號的化簡：y(t)=sin(60πt)sin(20πt)，利用積化和差 sinA·sinB=½[cos(A−B)−cos(A+B)]，得 y(t)=½cos(40πt)−½cos(80πt)，即由 20 Hz 與 40 Hz 兩個單音疊加而成，並非 30 Hz 與 10 Hz。此步驟為解題關鍵，須先化簡再取傅立葉轉換。
- 四、Y(f) 非零位置：由 cos(2πf₀t) ↔ ½[δ(f−f₀)+δ(f+f₀)]，得 Y(f)=¼[δ(f−20)+δ(f+20)]−¼[δ(f−40)+δ(f+40)]，非零處為 f=±20 Hz 與 ±40 Hz 共四點。頻域上相乘對應卷積（convolution），即頻譜平移與複製，此觀念亦是 DSB 調變、拍（beats）現象與混頻器（mixer）的理論基礎。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。