首頁 / 普通考試 電信工程考古題 / 民國115年 普通考試 電信工程 通信系統概要 民國115年 普通考試 電信工程 通信系統概要考古題
民國115年 普通考試 電信工程 通信系統概要收錄考選部官方試題，共 4 題可線上瀏覽，考選部未公告本科目答案。
題目與答案
回答下列傅立葉轉換頻率的問題：
若( )
(60 )
x t
sin
t
，求其頻率f 。（8 分）
( )
X f 非零的頻率位置為何？（8 分）
若( )
(60 )
(20 )
y t
sin
t
sin
t
，( )
Y f 非零頻率位置為何？（9 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、頻率的判讀：正弦波 x(t)=sin(2πf₀t) 中，2πf₀ 為角頻率（angular frequency）ω₀，頻率 f₀=ω₀/2π。本題 x(t)=sin(60πt)，故 60π=2πf₀，得 f₀=30 Hz，ω₀=60π rad/s，週期 T=1/30 秒。此為單一頻率（single-tone）訊號，頻譜僅含一根譜線。 二、X(f) 非零位置：由 sin(2πf₀t) ↔ (1/2j)[δ(f−f₀)−δ(f+f₀)]，可得 X(f)=(1/2j)[δ(f−30)−δ(f+30)]，故 X(f) 僅在 f=+30 Hz 與 f=−30 Hz 兩處非零，大小各為 1/2，相位相反。因 x(t) 為實數訊號，頻譜具共軛對稱（conjugate symmetry），正負頻率成對出現；若採單邊頻譜觀點，只須標示 +30 Hz。 三、乘積訊號的化簡：y(t)=sin(60πt)sin(20πt)，利用積化和差 sinA·sinB=½[cos(A−B)−cos(A+B)]，得 y(t)=½cos(40πt)−½cos(80πt)，即由 20 Hz 與 40 Hz 兩個單音疊加而成，並非 30 Hz 與 10 Hz。此步驟為解題關鍵，須先化簡再取傅立葉轉換。 四、Y(f) 非零位置：由 cos(2πf₀t) ↔ ½[δ(f−f₀)+δ(f+f₀)]，得 Y(f)=¼[δ(f−20)+δ(f+20)]−¼[δ(f−40)+δ(f+40)]，非零處為 f=±20 Hz 與 ±40 Hz 共四點。頻域上相乘對應卷積（convolution），即頻譜平移與複製，此觀念亦是 DSB 調變、拍（beats）現象與混頻器（mixer）的理論基礎。
回答下列AM 功率分配的問題：
標準單音AM 訊號
(
[
)
( )
)
(2
]
c
m
c
s
o
t
A
cos
t
c
f
s
t
f
，載波功率為
何？（6 分）
總邊帶功率為何？（6 分）
總功率為何？（6 分）
若
0.8
，邊帶功率占總功率比率為何？（7 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、模型與功率定義：標準單音 AM 訊號 s(t)=A_c[1+μcos(2πf_m t)]cos(2πf_c t)，其中 A_c 為載波振幅、μ 為調變指數（modulation index）、f_m 為單音頻率。在 1Ω 電阻上，功率定義為 P=⟨s²(t)⟩（時間平均值），且不同頻率之弦波互相正交，故可逐項計算後相加。 二、載波功率：將載波項 A_c cos(2πf_c t) 平方取平均，得 P_c=A_c²/2。此值與 μ 無關，即使不調變亦存在；AM 之所以功率效率低，正是因大部分功率耗在「不帶訊息」的載波上。 三、總邊帶功率：展開後邊帶項為 (μA_c/2)cos[2π(f_c+f_m)t] 與 (μA_c/2)cos[2π(f_c−f_m)t]，上、下邊帶各為 (μA_c/2)²/2=μ²A_c²/8，合計 P_SB=μ²A_c²/4=(μ²/2)P_c，即邊帶功率與 μ² 成正比。 四、總功率：P_total=P_c+P_SB=P_c(1+μ²/2)=(A_c²/2)(1+μ²/2)。滿調變 μ=1 時，邊帶占三分之一；μ 越小，邊帶占比越低。 五、μ=0.8 時比率：P_SB/P_total=(μ²/2)/(1+μ²/2)=0.32/1.32≈0.2424，即邊帶約占 24.24%，載波占 75.76%。結論：即使已達 80% 調變，仍有逾七成功率落在載波，故實務上發展 DSB-SC（雙邊帶抑制載波）與 SSB（單邊帶）以提升功率效率。
回答下列FM 小角度近似問題：
若
)
( )
(
( )
c
c
s t
A
f
os
t
c
t
且| ( ) |
t
很小，利用
cos ，sin
，寫
出小角度FM 近似式。（10 分）
近似式中與訊息相關的是那一項？（8 分）
此近似可視為何種調變結構？（7 分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、FM 訊號模型：s(t)=A_c cos[2πf_c t+φ(t)]，其中 φ(t)=2πk_f∫m(τ)dτ 為瞬時相位偏移，瞬時頻率 f_i(t)=f_c+k_f m(t)，k_f 為頻率靈敏度（Hz/V）。小角度近似（small-angle approximation）成立條件為 |φ(t)|≪1 rad，一般取小於 0.3 rad，即窄頻（narrowband）情況。 二、近似式推導：利用 cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB，並令 cosφ≈1、sinφ≈φ，得 s(t)≈A_c[cos(2πf_c t)−φ(t)sin(2πf_c t)]，即 s(t)≈A_c cos(2πf_c t)−A_c φ(t)sin(2πf_c t)。此即小角度 FM 近似式，誤差為 φ 的二階以上項。 三、與訊息相關的項：第二項 −A_c φ(t)sin(2πf_c t) 含 φ(t)，而 φ(t) 為訊息 m(t) 的積分，故為乘積（振幅調變）形式，承載訊息；第一項 A_c cos(2πf_c t) 為純載波，不含訊息。故與訊息相關者為「正交（quadrature）載波上的振幅調變分量」。 四、調變結構判定：此式可視為「載波加上正交載波之 DSB-SC」，即窄頻 FM（NBFM）。與 AM 的差別在於邊帶相位相差 90°（正交），故無法用包絡檢波（envelope detector）解調，須用同步解調或鑑頻器。頻寬約 2f_m，與 AM 相同；由相量圖（phasor）觀之，載波向量加一垂直小向量，合成振幅近似不變、相位隨訊息擺動。
回答下列連續時間取樣可重建判斷問題：
若
sT
s
，取樣頻率為何？（6 分）
若使用
sT
s
來取樣某訊號且能被完美重建，則此訊號的最高頻率
為何？（6 分）
若
(
)
0 for
X j
，使用
sT
s
是否可重建？（6 分）
若( )
(2000
)
(4000
)
x t
cos
t
sin
t
，使用
sT
s
是否可重建？（7分）
參考解答（AI 生成，非官方） 一、取樣基本關係：均勻取樣週期 T_s 與取樣頻率（sampling frequency）互為倒數，f_s=1/T_s，取樣角頻率 ω_s=2π/T_s。Nyquist 取樣定理指出，若訊號最高頻率為 f_M（或角頻率 ω_M），當 f_s>2f_M（臨界值 2f_M 稱 Nyquist rate）時，可用理想低通濾波器完美重建；否則產生混疊（aliasing）。 二、第一小題：取樣頻率 f_s=1/T_s。試卷中 T_s 之數值未能完整呈現，僅能以公式作答；例如 T_s=1 ms 則 f_s=1000 Hz，T_s=0.5 ms 則 f_s=2000 Hz。因題目資料缺漏，無法得出唯一數值，考生應以卷面所載 T_s 代入計算，並註明單位換算（ms→s）。 三、第二小題：可完美重建之訊號最高頻率為 Nyquist 頻率 f_M=f_s/2=1/(2T_s)。同理數值取決於 T_s；若 f_s=2000 Hz，則 f_M=1000 Hz，即訊號頻寬不得超過 1 kHz。答題時應寫出「f_M=1/(2T_s)」之通式再代入。 四、第三小題：若 X(jω)=0 for |ω|>ω_M，則可重建之判定規則為 ω_s≥2ω_M，即 f_s≥2f_M（嚴格言之需大於，等號時須理想濾波器）。若 f_s<2f_M，高頻成分將折疊至基帶而無法分離。故解題步驟為：先求訊號頻寬 B，再比較 f_s 與 2B，最後下結論。 五、第四小題：x(t)=cos(2000πt)+sin(4000πt) 之頻率成分為 1000 Hz 與 2000 Hz，最高 f_M=2000 Hz，需 f_s≥4000 Hz（T_s≤0.25 ms）方可重建。若題意為相乘 cos(2000πt)·sin(4000πt)，則成分為 1000 Hz 與 3000 Hz，需 f_s≥6000 Hz。因 T_s 數值缺漏，無法得出唯一判定，須依實際 T_s 與上述門檻比較後作答。