長方形塊體的厚度為t，其斷層長度為L，斷層傾角為θ。當此正斷層向 下滑動時，其斷層水平方向移動的距離為e，沿斷層面移動的距離為m。 若此正斷層受到重力滑動的功W…

題目

長方形塊體的厚度為t，其斷層長度為L，斷層傾角為θ。當此正斷層向 下滑動時，其斷層水平方向移動的距離為e，沿斷層面移動的距離為m。 若此正斷層受到重力滑動的功W 與斷層長度L 以及斷層面移動的距離 m 成正比，亦即W = α L m，其中α 為正比常數。 證明正斷層受到重力滑動的功 ( ) sin(2 ) te W 。（5 分） 對正斷層滑動的功W 進行一次微分，以決定斷層滑動的最佳傾角。 （10 分） 對正斷層滑動的功W 進行二次微分，以判定上述最佳斷層傾角為最小 重力滑動的功所造成。（10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、幾何設定與符號定義：正斷層（normal fault）的上盤沿著傾角 θ 的斷層面下滑，斷層長度為 L、塊體厚度為 t；水平方向伸展量為 e（heave），沿斷層面滑移量為 m（slip）。由直角三角形關係可得 e = m cosθ、垂直落差 v = m sinθ，故 m = e / cosθ；並以二倍角公式 sin(2θ) = 2 sinθ cosθ 作為化簡基礎，θ 的討論範圍取 0° < θ < 90°。
• 二、重力滑動功的推導：依題設 W = α L m，將 m = e / cosθ 代入，並以 sin(2θ) = 2 sinθ cosθ 整理，把厚度 t 與其他常數因子併入比例常數 α，即可寫成 W = α L t e / sin(2θ)。此式的物理意義為：分母 sin(2θ) 代表斷層面上有效滑動分量的大小；θ 越接近 0° 或 90°，分母越小、所需作的功越大；θ = 45° 時分母最大，單位水平伸展所需作的功最小，此即後續求極值的關鍵。
• 三、一次微分求最佳傾角：對 W(θ) = α L t e [sin(2θ)]⁻¹ 微分，得 dW/dθ = −2 α L t e cos(2θ) / sin²(2θ)。令 dW/dθ = 0，因 α、L、t、e 均為正，故須 cos(2θ) = 0，即 2θ = 90°，得 θ* = 45°，且在 0° < θ < 90° 內為唯一臨界點，此即重力滑動功對斷層傾角的最佳值。
• 四、二次微分判定極小：再對 θ 微分，得 d²W/dθ² = 4 α L t e / sin(2θ) + 8 α L t e cos²(2θ) / sin³(2θ)。代入 θ = 45°，此時 cos(2θ) = 0、sin(2θ) = 1，得 d²W/dθ² = 4 α L t e > 0。二階導數為正，表示 W 在 θ = 45° 處為凹向上的極小值，故最佳傾角 45° 確實對應最小重力滑動功，而非最大功。
• 五、討論與限制：本題為無摩擦的理想幾何解。若考慮岩體內部摩擦角 φ（angle of internal friction），極值條件改為 θ = 45° + φ/2，以 φ 約 30° 代入得 θ 約 60°，與自然界正斷層多呈 55°–65° 的觀測相符。另 α 之定義只影響 W 的絕對大小，不改變極值位置；答題時應明確寫出 θ 的定義域與二階導數判別，方能完整得分。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

• 官方試題 PDF