長方形塊體的厚度為t，其斷層長度為L，斷層傾角為θ。當此正斷層向
下滑動時，其斷層水平方向移動的距離為e，沿斷層面移動的距離為m。
若此正斷層受到重力滑動的功W 與斷層長度L 以及斷層面移動的距離
m 成正比，亦即W = α L m，其中α 為正比常數。
證明正斷層受到重力滑動的功
( ) sin(2 )
te
W
。（5 分）
對正斷層滑動的功W 進行一次微分，以決定斷層滑動的最佳傾角。
（10 分）
對正斷層滑動的功W 進行二次微分，以判定上述最佳斷層傾角為最小
重力滑動的功所造成。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
一、幾何設定與符號定義：正斷層（normal fault）的上盤沿著傾角 θ 的斷層面下滑，斷層長度為 L、塊體厚度為 t；水平方向伸展量為 e（heave），沿斷層面滑移量為 m（slip）。由直角三角形關係可得 e = m cosθ、垂直落差 v = m sinθ，故 m = e / cosθ；並以二倍角公式 sin(2θ) = 2 sinθ cosθ 作為化簡基礎，θ 的討論範圍取 0° < θ < 90°。
二、重力滑動功的推導：依題設 W = α L m，將 m = e / cosθ 代入，並以 sin(2θ) = 2 sinθ cosθ 整理，把厚度 t 與其他常數因子併入比例常數 α，即可寫成 W = α L t e / sin(2θ)。此式的物理意義為：分母 sin(2θ) 代表斷層面上有效滑動分量的大小；θ 越接近 0° 或 90°，分母越小、所需作的功越大；θ = 45° 時分母最大，單位水平伸展所需作的功最小，此即後續求極值的關鍵。
三、一次微分求最佳傾角：對 W(θ) = α L t e [sin(2θ)]⁻¹ 微分，得 dW/dθ = −2 α L t e cos(2θ) / sin²(2θ)。令 dW/dθ = 0，因 α、L、t、e 均為正，故須 cos(2θ) = 0，即 2θ = 90°，得 θ* = 45°，且在 0° < θ < 90° 內為唯一臨界點，此即重力滑動功對斷層傾角的最佳值。
四、二次微分判定極小：再對 θ 微分，得 d²W/dθ² = 4 α L t e / sin(2θ) + 8 α L t e cos²(2θ) / sin³(2θ)。代入 θ = 45°，此時 cos(2θ) = 0、sin(2θ) = 1，得 d²W/dθ² = 4 α L t e > 0。二階導數為正，表示 W 在 θ = 45° 處為凹向上的極小值，故最佳傾角 45° 確實對應最小重力滑動功，而非最大功。
建築物質量為m，其彈性係數為k。若地震的振動水平力是
sin(
)
m
w t ，
試問：
為何建築物固有角頻率為
1/2
( /
)
w
k
m
？（5 分）
求建築物水平位移隨時間的變化x(t)為何？（10 分）
若共振
(
)
w
w
參考解答（AI 生成，非官方）
一、固有角頻率之來源：建築物簡化為單自由度（SDOF）質量—彈簧系統，質量 m、彈性係數（勁度）k。由牛頓第二定律 m ẍ = −k x，整理得 ẍ + (k/m) x = 0；與簡諧運動標準式 ẍ + ω0² x = 0 比較，即得 ω0 = (k/m)^(1/2)，單位為 rad/s，對應自然週期 T0 = 2π (m/k)^(1/2)。物理意義：k/m 是單位質量所分配到的回復勁度，量綱為 s⁻²，開平方後成為角頻率。
二、運動方程式與齊次解：考慮地震水平力 F(t) = F_m sin(ωt)，運動方程式為 m ẍ + k x = F_m sin(ωt)。齊次解（自由振動）為 x_h = A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t)；特解（強迫振動）設 x_p = X sin(ωt)，代回得 −m ω² X + k X = F_m，故 X = F_m /(k − m ω²) = (F_m/k) / [1 − (ω/ω0)²]，即靜態位移放大函數。
三、全解與初始條件：x(t) = A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t) + X sin(ωt)。設靜止起始 x(0) = 0、ẋ(0) = 0，得 A = 0、B = −X (ω/ω0)，故 x(t) = [F_m /(k − m ω²)] [sin(ωt) − (ω/ω0) sin(ω0 t)]。此解由強迫項與自由振動項疊加而成，暫態項以 ω0 振盪，振幅由外力頻率與自然頻率之比值決定。
（先建立二階常微分方程式，再得到常微分方程式的齊次解與特解，最後
以羅必達（L’Hospitle）法則，求解建築物共振的水平位移變化）
t
e
m
t
L
地震場址效應與建築物耐震設計使用的「三相地震反應頻譜」是對位移
x(t)、速度( )
x t
、加速度( )
x t
的地震紀錄，進行傅立葉轉換F{}的振幅頻
譜：
( )
D
F x t
，
( )
V
F x t
，
( )
A
F x t
。對速度與加速度的一
次微分先進行傅立葉轉換，再使用坐標軸的旋轉矩陣，證明坐標軸
（log10A, log10D）是從坐標軸（
2 log10w,
2 log10V）逆時針旋轉45°所建
立的。（25 分）
三、取對數的線性關係：對上述關係取常用對數，log10 V = log10 D + log10 ω，log10 A = log10 D + 2 log10 ω。在 (log10 D, log10 A) 平面上，固定 ω 時 A 與 D 成正比（斜率 +1，即 45° 斜線）；固定 V 時 A 與 D 成反比（斜率 −1）；固定 D、A 則分別為垂直線與水平線。