建築物質量為m，其彈性係數為k。若地震的振動水平力是 sin( ) m w t ， 試問： 為何建築物固有角頻率為 1/2 ( / ) w k m ？（5 分）…

題目

建築物質量為m，其彈性係數為k。若地震的振動水平力是 sin( ) m w t ， 試問： 為何建築物固有角頻率為 1/2 ( / ) w k m ？（5 分） 求建築物水平位移隨時間的變化x(t)為何？（10 分） 若共振 ( ) w w

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、固有角頻率之來源：建築物簡化為單自由度（SDOF）質量—彈簧系統，質量 m、彈性係數（勁度）k。由牛頓第二定律 m ẍ = −k x，整理得 ẍ + (k/m) x = 0；與簡諧運動標準式 ẍ + ω0² x = 0 比較，即得 ω0 = (k/m)^(1/2)，單位為 rad/s，對應自然週期 T0 = 2π (m/k)^(1/2)。物理意義：k/m 是單位質量所分配到的回復勁度，量綱為 s⁻²，開平方後成為角頻率。
• 二、運動方程式與齊次解：考慮地震水平力 F(t) = F_m sin(ωt)，運動方程式為 m ẍ + k x = F_m sin(ωt)。齊次解（自由振動）為 x_h = A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t)；特解（強迫振動）設 x_p = X sin(ωt)，代回得 −m ω² X + k X = F_m，故 X = F_m /(k − m ω²) = (F_m/k) / [1 − (ω/ω0)²]，即靜態位移放大函數。
• 三、全解與初始條件：x(t) = A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t) + X sin(ωt)。設靜止起始 x(0) = 0、ẋ(0) = 0，得 A = 0、B = −X (ω/ω0)，故 x(t) = [F_m /(k − m ω²)] [sin(ωt) − (ω/ω0) sin(ω0 t)]。此解由強迫項與自由振動項疊加而成，暫態項以 ω0 振盪，振幅由外力頻率與自然頻率之比值決定。
• 四、極限討論：當 ω 遠小於 ω0，x(t) 約為 (F_m/k) sin(ωt)，屬位移控制（準靜態）；當 ω 遠大於 ω0，振幅約 F_m/(m ω²) 而趨近於零，質量發揮隔震效果（加速度控制）；當 ω 趨近 ω0，分母 k − m ω² 趨近 0，振幅趨於無窮大，即共振（resonance），須以極限法另求其解。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

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