若訊號f (t)的取樣間距為∆t，則其取樣時間t = n∆t, n = -∞, … , -1, 0, 1, …, ∞。 至於取樣定理的奈奎斯特頻率（Nyquis…

題目

若訊號f (t)的取樣間距為∆t，則其取樣時間t = n∆t, n = -∞, … , -1, 0, 1, …, ∞。 至於取樣定理的奈奎斯特頻率（Nyquist frequency）fN 亦應滿足角頻率 w ߳(-2π fN, 2π fN)。從離散化訊號f (n∆t)的傅立葉轉換代入傅立葉反轉換， 證明奈奎斯特頻率fN = 1 / (2∆t)。（25 分） log10A log10D 45°

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、取樣模型：連續訊號 f(t) 以間距 Δt 取樣，得 f(nΔt)，n = …, −1, 0, 1, …。可寫成 f_s(t) = f(t) Σ δ(t − nΔt)，其中取樣頻率 f_s = 1/Δt，取樣角頻率 ω_s = 2π/Δt = 2π f_s。此為推導取樣定理的標準起點。
• 二、取樣訊號的傅立葉轉換：由旋積定理（convolution theorem），F_s(ω) = (1/Δt) Σ_k F(ω − k ω_s)，即原頻譜以 ω_s 為週期不斷複製（spectral replicas）。相鄰複本在 ω = ±ω_s/2 處相接，超過此範圍即與鄰頻帶重疊，造成資訊混疊。
• 三、離散值與反轉換：f(nΔt) = (1/2π) ∫ F_s(ω) e^{iωnΔt} dω。因 e^{i(ω + k ω_s)nΔt} = e^{iωnΔt} e^{i2πkn} = e^{iωnΔt}（k、n 為整數），故頻率 ω 與 ω + k ω_s 在取樣點上完全不可分辨，產生頻疊（aliasing）。因此積分只需也只能取一個週期，即 −ω_s/2 < ω < ω_s/2。
• 四、奈奎斯特頻率的推導：令可分辨的最高角頻率為 ω_N = ω_s/2 = π/Δt，換算為一般頻率 f_N = ω_N/(2π) = (π/Δt)/(2π) = 1/(2Δt)，故 f_N = 1/(2Δt) 得證。取樣定理（sampling theorem）要求訊號最高頻率 f_max < f_N，即 Δt < 1/(2 f_max)；例如取樣率 100 sps 時 f_N = 50 Hz。
• 五、實務意涵與限制：若 f > f_N，訊號會被摺疊到 |f − k f_s| 的低頻位置，形成假頻（alias），地震紀錄中會出現不存在的長週期波動；因此地震儀在取樣前須先經抗混疊低通濾波（anti-alias filter），並依所欲觀測的最高頻率選定 Δt。此外 f_N 僅為理論上限，實際可用的頻帶通常再打折扣。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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