（先建立二階常微分方程式，再得到常微分方程式的齊次解與特解，最後 以羅必達（L’Hospitle）法則，求解建築物共振的水平位移變化） t e m t L 地震…

題目

（先建立二階常微分方程式，再得到常微分方程式的齊次解與特解，最後 以羅必達（L’Hospitle）法則，求解建築物共振的水平位移變化） t e m t L 地震場址效應與建築物耐震設計使用的「三相地震反應頻譜」是對位移 x(t)、速度( ) x t 、加速度( ) x t 的地震紀錄，進行傅立葉轉換F{}的振幅頻 譜： ( ) D F x t ， ( ) V F x t ， ( ) A F x t 。對速度與加速度的一 次微分先進行傅立葉轉換，再使用坐標軸的旋轉矩陣，證明坐標軸 （log10A, log10D）是從坐標軸（ 2 log10w, 2 log10V）逆時針旋轉45°所建 立的。（25 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、三相頻譜的定義：地震紀錄 x(t)（位移）、ẋ(t)（速度）、ẍ(t)（加速度）經傅立葉轉換 F{ } 得振幅頻譜 D(ω) = |F{x}|、V(ω) = |F{ẋ}|、A(ω) = |F{ẍ}|。將三者繪於同一張雙對數圖（橫軸 log10 D、縱軸 log10 A），即為三相地震反應頻譜（tripartite spectrum），供耐震設計讀取不同週期對應之譜位移、譜速度與譜加速度。
• 二、微分的頻域性質：由傅立葉轉換的微分定理，F{ẋ(t)} = iω F{x(t)}，F{ẍ(t)} = (iω)² F{x(t)} = −ω² F{x(t)}；取振幅絕對值後得 V(ω) = ω D(ω)、A(ω) = ω² D(ω)。此即速度譜為位移譜乘 ω、加速度譜為位移譜乘 ω² 的關係，亦為三相譜能互相換算的依據。
• 三、取對數的線性關係：對上述關係取常用對數，log10 V = log10 D + log10 ω，log10 A = log10 D + 2 log10 ω。在 (log10 D, log10 A) 平面上，固定 ω 時 A 與 D 成正比（斜率 +1，即 45° 斜線）；固定 V 時 A 與 D 成反比（斜率 −1）；固定 D、A 則分別為垂直線與水平線。
• 四、旋轉矩陣的證明：令 X = −2 log10 ω、Y = 2 log10 V。將座標軸逆時針旋轉 45°，分量依 R(−45°) 變換：x′ = X cos45° + Y sin45° = (X + Y)/√2 = (−2 log ω + 2 log V)/√2 = √2 (log V − log ω) = √2 log10 D；y′ = −X sin45° + Y cos45° = (Y − X)/√2 = (2 log V + 2 log ω)/√2 = √2 (log V + log ω) = √2 log10 A。故旋轉後的新座標即為 (√2 log D, √2 log A)。
• 五、結論與繪圖提示：旋轉 45° 後新軸方向與 (log10 A, log10 D) 一致，僅差 √2 的比例常數，命題得證。繪圖時應以 log10 為等間距刻度，標出 D 軸（水平）、A 軸（垂直）、V 軸（45° 斜線）與 ω（或週期 T）之 45° 斜線族，並註明各斜線斜率為 ±1。限制：傅立葉振幅譜為穩態頻域量，與單自由度最大反應譜（response spectrum）意義不同，引用時須區分。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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