地震發生具有明顯的尺度特性（scale-invariant behavior），…｜115年普通考試地震測報地球物理概要第1題題目

Question

地震發生具有明顯的尺度特性（scale-invariant behavior），亦即小地震發 生次數遠多於大地震。為了量化不同規模地震的發生頻率，Gutenberg 與 Richter（1944）提出著名的Gutenberg-Richter 關係式（G-R law）： log N = ܽ−ܾM 在此N為規模大於或等於M之累積地震數。 此關係式不僅廣泛應用於地震危害度分析，亦被用來探討地殼應力狀 態、斷層活動特性，以及流體在孕震過程中的角色。近年研究更發現， 不同構造環境（如隱沒帶、火山區、地熱區及活動斷層）常具有不同的 b-value，顯示地震統計特徵可能反映地下物理環境的差異。地區A 兩年 內的地震目錄如下： 規模M N（≥M） log₁₀N 8.0 0.000 7.0 1.279 6.0 2.104 5.0 2.967 4.0 7,127 3.853 3.0 56,127 4.749 2.0 356,127 5.552 請計算a-value 與b-value。（10 分） 推估M≧5 地震一年發生次數。（5 分） 若地區B 的b=1.5，而a-value 相同，請比較地區A、B 發生規模7 地 震的機率，何者比較高？（5 分） 論述b-value 可能的控制因子。（5 分）

Accepted Answer

一、模式與線性化：Gutenberg-Richter 關係式為 log₁₀N(≥M)=a−bM，其中 N 為規模大於或等於 M 的累積事件數。b-value 是配適直線斜率的絕對值，代表大小地震的比例；a-value 是外插至 M=0 時的截距，反映區域整體地震活動度（seismicity rate）。將表中 N 取 log₁₀ 後對 M 作圖，若資料點呈直線，即可用最小平方法配適。注意 M=8.0 對應 N=0，其對數無定義，不納入配適；接近完備規模 Mc 以下的資料亦常偏離直線。 二、配適計算：取 M=2 至 7 共六點，M̄=4.5，log N̄=3.417，Σ(M−M̄)²=17.5，Σ(M−M̄)(logN−logN̄)=−15.09，故 b=−(−15.09)/17.5=0.862≈0.86；a=log N̄+bM̄=3.417+0.862×4.5=7.30。得 log N=7.30−0.86M，此 a 對應「兩年」目錄。檢核 M=7 得 1.28（原表 1.279）、M=4 得 3.86（原表 3.853），配適良好；若改以年為單位，a 年=a−log₁₀2≈7.00。 三、M≥5 之年發生次數：以兩年目錄計算，log N(≥5)=7.30−0.86×5=3.00，N≈1,000 件/2 年，平均約 500 件/年；若先換算年率 a₁=7.00，則 log N=7.00−0.86×5=2.70，同樣得約 501 件/年。此為統計期望值，實際受目錄完備性、b 值不確定度（±0.05 即可造成約一成以上差異）、規模定義與人為或爆炸事件剔除方式影響，宜註明信賴區間。 四、A、B 兩區比較：同一 a 值下，A 區 b=0.86，log N_A(≥7)=7.30−6.02=1.28，約 19 件/2 年；B 區 b=1.5，log N_B(≥7)=7.30−10.5=−3.20，約 6.3×10⁻⁴ 件/2 年，A 區約為 B 區的 3×10⁴ 倍。因發生機率與發生率成正比，A 區規模 7 地震的機率遠高於 B 區。b 值越大表示大地震相對小地震越稀少，故同一 a 值下 B 區雖小震多，災害性大地震反而顯著較少。 五、b-value 的可能控制因子：(1) 差應力（differential stress）與有效圍壓：實驗顯示應力越高 b 越小，隱沒帶逆斷層介面等高應力區 b 偏低（約 0.6–0.8）；(2) 介質非均質度與裂隙密度：裂隙多、強度分布廣則 b 偏高；(3) 斷層型態：正斷層區常高於平移斷層，逆斷層最低；(4) 溫度與深度：脆韌性轉換帶附近 b 有系統變化；(5) 流體與孔隙壓力：火山、地熱區因熱液使有效應力降低，b 常達 1.2–1.5；(6) 觀測因素：Mc、規模種類轉換、群震與爆炸事件處理。

地震發生具有明顯的尺度特性（scale-invariant behavior），亦即小地震發生次數遠多於大地震。為了量化不同規模地震的發生頻率，Gutenbe…

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