在地球物理線性反演（逆推）問題中，觀測數據向量݀與物理模型向量݉ 有下列關係： ܩ݉= ݀ 上式ܩ稱為核矩陣（kernel matrix），為連結模型與數據之線…

題目

在地球物理線性反演（逆推）問題中，觀測數據向量݀與物理模型向量݉ 有下列關係： ܩ݉= ݀ 上式ܩ稱為核矩陣（kernel matrix），為連結模型與數據之線性數學算子， 而݉為待求的物理模型參數向量。請回答下列問題： 若ܩ݉= ݀為超定問題（over-determined problems），亦即觀測數據݀的 維度大於地下模型݉的維度，請利用最小平方法（least squares method） 推導其估計解݉ෝ的矩陣表達式。（15 分） 在實際地球物理反演中，如地震波速層析成像（Tomography）或有限 斷層滑移分佈反演(Finite-fault inversion)，核矩陣ܩ經常呈現嚴重的病 態特徵，為了避免反演時產生估計解的劇烈變動，實務上常引入一平 滑矩陣（smoothing matrix）ܹ以約束相鄰模型參數間的平滑度。請利 用廣義阻尼最小平方法（generalized damped least squares method）推 導其估計解݉ෝ的矩陣表達式。（10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、最小平方法的目標函數與正規方程式：令殘差向量 r = d − Gm，定義誤差平方和 E(m) = ‖d − Gm‖² = (d − Gm)^T(d − Gm) = d^T d − 2m^T G^T d + m^T G^T G m。對 m 取梯度並令其為零：∂E/∂m = −2G^T d + 2G^T G m = 0，整理得正規方程式（normal equations）G^T G m = G^T d。
• 二、超定問題的估計解：當 d 的維度大於 m 的維度（N > M），且 G 的各行向量線性獨立時，G^T G 為 M×M 的對稱正定方陣而可逆，故 m̂ = (G^T G)^{-1} G^T d = G^+ d，其中 G^+ 為 Moore-Penrose 偽逆（pseudo-inverse）。幾何意義是將資料向量 d 正交投影到 G 的行空間（column space），使殘差與行空間正交，即 G^T r = 0。
• 三、廣義阻尼最小平方法的目標函數：為抑制估計解的劇烈變動，引入平滑矩陣（smoothing matrix，或稱粗糙度矩陣 roughness matrix）W，例如一階差分算子或二階差分算子，並加入阻尼因子 λ，改為求 minimize Φ(m) = ‖Gm − d‖² + λ²‖Wm‖²。
• 四、推導與估計解：將 Φ 展開為 d^T d − 2m^T G^T d + m^T G^T G m + λ² m^T W^T W m，令 ∂Φ/∂m = −2G^T d + 2G^T G m + 2λ² W^T W m = 0，得 (G^T G + λ² W^T W) m = G^T d，故 m̂ = (G^T G + λ² W^T W)^{-1} G^T d。
• 五、參數意義與限制：λ 控制資料擬合與模型平滑度之間的取捨（trade-off）；λ 趨近 0 時退化為一般最小平方解，λ 過大則解析度降低、模型過度平滑。實務上常以 L-curve、交叉驗證或殘差準則選取 λ。若 G^T G + λ² W^T W 仍接近奇異，可再加入微小對角項，此即 Tikhonov 正則化（regularization）的精神。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

• 官方試題 PDF