若一解析函數（analytic function）݂(ݔ)在ݔ= ܽ處展開為泰勒級數（Taylor
series），可表示為：
݂(ݔ) = ܿ+ ܿଵ(ݔ−ܽ) + ܿଶ(ݔ−ܽ)ଶ+ ܿଷ(ݔ−ܽ)ଷ+ ⋯+ ܿ(ݔ−ܽ)+ ⋯
上式中之的ܿ, ܿଵ, ܿଶ, ܿଷ,…, ܿ,…為該泰勒級數之展開係數。請回答下
列問題：
請利用尋求待定係數之思路（推導各階係數ܿ與函數導數之關係），透
過逐項比較的方法，證明其一般項係數如下：（10 分）
ܿ= ݂()(ܽ)
݊!
請寫出馬克勞林級數（Maclaurin series）的形式。（5 分）
請推導函數݂(ݔ) = ln(1 + ݔ)的馬克勞林級數展開式，並明確寫出其級
數的一般項（第݊項）表達式（不用考慮該級數的收斂區間）。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、待定係數法與逐項微分：設 f(x) = c₀ + c₁(x−a) + c₂(x−a)² + … 在 |x−a| < R 內收斂。因 f 為解析函數（analytic function），在收斂半徑內可逐項微分且無窮次可微，故可對級數逐項求導後再代入特定點，以定出各待定係數。
- 二、逐階求係數：令 x = a，各高次項均為零，得 c₀ = f(a)。兩邊對 x 微分一次得 f'(x) = c₁ + 2c₂(x−a) + 3c₃(x−a)² + …，再令 x = a 得 c₁ = f'(a)。微分兩次得 f''(x) = 2c₂ + 6c₃(x−a) + …，令 x = a 得 c₂ = f''(a)/2!。
- 三、一般項的證明：依此歸納，第 n 次微分後 f⁽ⁿ⁾(x) = n! c_n + (n+1)! c_{n+1}(x−a) + …，令 x = a 即得 f⁽ⁿ⁾(a) = n! c_n，故 c_n = f⁽ⁿ⁾(a)/n!，即為所求之一般項係數，亦證明泰勒係數的唯一性。
- 四、馬克勞林級數的形式：當展開點取 a = 0 時，泰勒級數退化為 f(x) = Σ_{n=0}^{∞} [f⁽ⁿ⁾(0)/n!] xⁿ = f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2! + f'''(0)x³/3! + …，稱為馬克勞林級數（Maclaurin series），是泰勒級數的特例。
- 五、ln(1+x) 的展開：取 f(x) = ln(1+x)，f(0) = 0；f'(x) = (1+x)^{-1}，f''(x) = −(1+x)^{-2}，f'''(x) = 2(1+x)^{-3}，歸納得 f⁽ⁿ⁾(x) = (−1)^{n−1}(n−1)!(1+x)^{−n}，故 f⁽ⁿ⁾(0) = (−1)^{n−1}(n−1)!。
- 六、代入係數公式：c_n = (−1)^{n−1}(n−1)!/n! = (−1)^{n−1}/n，因此 ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + …，一般項（第 n 項）為 (−1)^{n−1} xⁿ/n，即 ln(1+x) = Σ_{n=1}^{∞} (−1)^{n−1} xⁿ/n。
考慮地球岩石圈的熱傳導問題，令地層密度為ߩ、比熱為ܿ、熱導率
（thermal conductivity）為݇。隨深度ݖ的一維熱傳導方程式為：
߲ܶ
߲ݐ= ݇
ߩܿ
߲ଶܶ
߲ݖଶ
上式中之ܶ(ݖ, ݐ)表示沿ݖ方向隨時間ݐ之溫度變化。請回答下列問題：
請利用傅立葉熱傳導定律（Fourier's Law of Heat Conduction）與能量
守恆原則，推導出此一維熱傳導方程式（如上式）。（5 分）
請利用分離變數法（separation of variables）求解此一維熱傳導方程式，
並寫出其一般解（general solution）的通式。（10 分）
考慮溫度只在垂直方向（ݖ方向）變化，且內部有熱源ܣ（單位體積之
產熱率），若地熱場達到穩定狀態（steady-state），即
డ்
డ௧= 0，則其熱導
方程式為：
݀ଶܶ
݀ݖଶ= −ܣ
݇
已知地表（ݖ= 0）處之溫度與熱流觀測值分別滿足：ܶ= 0與ݍ= −݇
ௗ்
ௗ௭= −ݍ
（地表的熱流值），請推導出地溫分佈ܶ(ݖ)為何？（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、傅立葉定律與能量守恆：傅立葉熱傳導定律（Fourier's law of heat conduction）為 q = −k ∂T/∂z，q 為熱流（heat flux）。考慮厚度 dz、截面積 A 的薄層，單位時間淨流入熱量為 −(∂q/∂z) dz·A；層內內能增加率為 ρ c_p (∂T/∂t) dz·A，兩者相等即為能量守恆。
- 二、一維熱傳導方程式：由 −∂q/∂z = ρ c_p ∂T/∂t，代入 q = −k ∂T/∂z 並視 k 為常數，得 ρ c_p ∂T/∂t = k ∂²T/∂z²，即 ∂T/∂t = κ ∂²T/∂z²，其中 κ = k/(ρc_p) 稱為熱擴散係數（thermal diffusivity），單位為 m²/s。
- 三、分離變數法：令 T(z,t) = Z(z)Θ(t)，代入後兩邊同除以 κZΘ，得 Θ'/(κΘ) = Z''/Z = −λ²，λ 為分離常數。於是得到兩個常微分方程：Θ' + κλ²Θ = 0 與 Z'' + λ²Z = 0。
- 四、一般解的通式：解得 Θ(t) = e^{−κλ²t}，Z(z) = A cos λz + B sin λz；當 λ = 0 時 Z(z) = C + Dz，代表穩態的線性地溫梯度。故一般解可寫為 T(z,t) = C + Dz + Σ_n (A_n cos λ_n z + B_n sin λ_n z) e^{−κλ_n² t}，或積分形式 T(z,t) = C + Dz + ∫₀^∞ [A(λ)cos λz + B(λ)sin λz] e^{−κλ²t} dλ，係數由初始條件與邊界條件決定。
- 五、穩態含熱源方程式的求解：∂T/∂t = 0 時 d²T/dz² = −A/k。積分一次得 dT/dz = −Az/k + C₁，再積分得 T(z) = −Az²/(2k) + C₁z + C₂。由地表 T(0) = 0 得 C₂ = 0；由 q(0) = −k(dT/dz)|₀ = −kC₁ = −q₀ 得 C₁ = q₀/k。
- 六、地溫分佈與討論：故 T(z) = (q₀/k) z − A z²/(2k)。第一項為地表熱流造成的線性增溫，第二項為放射性熱源（radiogenic heat production）造成的拋物線修正；當 A > 0 時地溫梯度隨深度遞減，與大陸地殼的觀測趨勢相符。
地震定位是地震學研究的基本核心問題之一。令某一地震的真實地震定
位參數為݉= [ݔ, ݕ, ݖ, ݐ]்，其中(ݔ, ݕ, ݖ)為震源的三維空間座標，ݐ是發震
時間。現有若干地震測站，而第݅個測站的座標為(ݔ, ݕ, ݖ)，其記錄到P
波的到時（arrival time）為ܶ，表示如下：
ܶ(ݔ, ݕ, ݖ, ݐ) = ݐ+ ߬(ݔ, ݕ, ݖ)
߬是震源到第݅個測站的P 波走時。請回答下列問題：
由於到時ܶ與地震定位參數的關係是非線性問題，若給一初始猜測之
震源參數為݉= [ݔ, ݕ, ݖ, ݐ]்，請利用蓋格法（Geiger's method）將
之轉換成到時殘差（∆ܶ）與地震定位參數修正量(∆ݔ, ∆ݕ, ∆ݖ, ∆ݐ)的線
性方程表達式。（10 分）
承 ，將若干個測站的到時殘差與地震定位參數修正量線性方程組改
寫成矩陣形式，表示為ܩ∆݉= ݀，其中ܩ稱為核矩陣（kernel matrix），
∆݉= [∆ݔ, ∆ݕ, ∆ݖ, ∆ݐ]்為地震定位參數修正量向量，݀為各測站的到時
殘差向量。若ܩ為病態矩陣（ill-conditioned matrix），請利用阻尼最小
平方法（damped least squares method）推導其估計解∆݉
的矩陣表達式。
（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、非線性到時方程與線性化：T_i(m) = t + τ_i(x,y,z)，其中 τ_i = r_i/v，r_i = [(x_i−x)² + (y_i−y)² + (z_i−z)²]^{1/2}。對初始猜測 m₀ = [x₀, y₀, z₀, t₀]^T 作一階泰勒展開，得 T_i(m₀+Δm) ≈ T_i(m₀) + Σ_j (∂T_i/∂m_j) Δm_j。
- 二、偏導數與蓋格法方程式：移項得 ΔT_i = T_i^obs − T_i(m₀) = Σ_j (∂T_i/∂m_j) Δm_j，其中 ∂T_i/∂x = (x₀−x_i)/(v r_i)、∂T_i/∂y = (y₀−y_i)/(v r_i)、∂T_i/∂z = (z₀−z_i)/(v r_i)、∂T_i/∂t = 1。此即蓋格法（Geiger's method）的線性觀測方程，殘差 ΔT_i 為觀測到時與理論到時之差。
- 三、矩陣形式：對 N 個測站可寫成 G Δm = d，G 為 N×4 的核矩陣（kernel matrix），第 i 列即上述四個偏導數；Δm = [Δx, Δy, Δz, Δt]^T，d = [ΔT₁, …, ΔT_N]^T。求解後以 m ← m₀ + Δm 更新，反覆迭代直到殘差收斂。
- 四、阻尼最小平方法的目標函數：當 G 呈病態（ill-conditioned），例如測站幾何分佈不佳、測站集中於震源單側或缺乏深部約束時，最小平方解會劇烈變動，故改求 minimize ‖GΔm − d‖² + λ²‖Δm‖²，λ 為阻尼因子（damping parameter）。
- 五、估計解的推導：對 Δm 取梯度並令其為零，得 −2G^T d + 2G^T G Δm + 2λ² Δm = 0，即正規方程式 (G^T G + λ²I)Δm = G^T d，故 Δm̂ = (G^T G + λ²I)^{-1} G^T d；利用矩陣恆等式亦可寫成 Δm̂ = G^T(GG^T + λ²I)^{-1} d，測站數多時以後者計算較經濟。
- 六、性質與實務選取：λ 提供解析度與穩定度之間的折衷；λ 趨近 0 時回到一般最小平方解，λ 增大則修正量被壓抑、收斂較慢。實務上常以 L-curve、殘差與模型範數曲線或 Morozov 差異原則決定 λ，此即 Tikhonov 正則化與 Levenberg–Marquardt 阻尼法的精神。