民國115年 普通考試 地震測報 地球物理數學概要
第2題
若一解析函數（analytic function）݂(ݔ)在ݔ= ܽ處展開為泰勒級數（Taylor series），可表示為： ݂(ݔ) = ܿ+ ܿଵ(ݔ−…
題目
若一解析函數（analytic function）݂(ݔ)在ݔ= ܽ處展開為泰勒級數（Taylor series），可表示為： ݂(ݔ) = ܿ+ ܿଵ(ݔ−ܽ) + ܿଶ(ݔ−ܽ)ଶ+ ܿଷ(ݔ−ܽ)ଷ+ ⋯+ ܿ(ݔ−ܽ)+ ⋯ 上式中之的ܿ, ܿଵ, ܿଶ, ܿଷ,…, ܿ,…為該泰勒級數之展開係數。請回答下 列問題： 請利用尋求待定係數之思路（推導各階係數ܿ與函數導數之關係），透 過逐項比較的方法，證明其一般項係數如下：（10 分） ܿ= ݂()(ܽ) ݊! 請寫出馬克勞林級數（Maclaurin series）的形式。（5 分） 請推導函數݂(ݔ) = ln(1 + ݔ)的馬克勞林級數展開式，並明確寫出其級 數的一般項（第݊項）表達式（不用考慮該級數的收斂區間）。（10 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、待定係數法與逐項微分：設 f(x) = c₀ + c₁(x−a) + c₂(x−a)² + … 在 |x−a| < R 內收斂。因 f 為解析函數（analytic function），在收斂半徑內可逐項微分且無窮次可微，故可對級數逐項求導後再代入特定點，以定出各待定係數。
- 二、逐階求係數：令 x = a，各高次項均為零，得 c₀ = f(a)。兩邊對 x 微分一次得 f'(x) = c₁ + 2c₂(x−a) + 3c₃(x−a)² + …，再令 x = a 得 c₁ = f'(a)。微分兩次得 f''(x) = 2c₂ + 6c₃(x−a) + …，令 x = a 得 c₂ = f''(a)/2!。
- 三、一般項的證明：依此歸納，第 n 次微分後 f⁽ⁿ⁾(x) = n! c_n + (n+1)! c_{n+1}(x−a) + …，令 x = a 即得 f⁽ⁿ⁾(a) = n! c_n，故 c_n = f⁽ⁿ⁾(a)/n!，即為所求之一般項係數，亦證明泰勒係數的唯一性。
- 四、馬克勞林級數的形式：當展開點取 a = 0 時，泰勒級數退化為 f(x) = Σ_{n=0}^{∞} [f⁽ⁿ⁾(0)/n!] xⁿ = f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2! + f'''(0)x³/3! + …，稱為馬克勞林級數（Maclaurin series），是泰勒級數的特例。
- 五、ln(1+x) 的展開：取 f(x) = ln(1+x)，f(0) = 0；f'(x) = (1+x)^{-1}，f''(x) = −(1+x)^{-2}，f'''(x) = 2(1+x)^{-3}，歸納得 f⁽ⁿ⁾(x) = (−1)^{n−1}(n−1)!(1+x)^{−n}，故 f⁽ⁿ⁾(0) = (−1)^{n−1}(n−1)!。
- 六、代入係數公式：c_n = (−1)^{n−1}(n−1)!/n! = (−1)^{n−1}/n，因此 ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + …，一般項（第 n 項）為 (−1)^{n−1} xⁿ/n，即 ln(1+x) = Σ_{n=1}^{∞} (−1)^{n−1} xⁿ/n。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。