地震定位是地震學研究的基本核心問題之一。令某一地震的真實地震定 位參數為݉= [ݔ, ݕ, ݖ, ݐ]்，其中(ݔ, ݕ, ݖ)為震源的三維空間座標，ݐ是發震…

題目

地震定位是地震學研究的基本核心問題之一。令某一地震的真實地震定 位參數為݉= [ݔ, ݕ, ݖ, ݐ]்，其中(ݔ, ݕ, ݖ)為震源的三維空間座標，ݐ是發震 時間。現有若干地震測站，而第݅個測站的座標為(ݔ௜, ݕ௜, ݖ௜)，其記錄到P 波的到時（arrival time）為ܶ௜，表示如下： ܶ௜(ݔ, ݕ, ݖ, ݐ) = ݐ+ ߬௜(ݔ, ݕ, ݖ) ߬௜是震源到第݅個測站的P 波走時。請回答下列問題： 由於到時ܶ௜與地震定位參數的關係是非線性問題，若給一初始猜測之 震源參數為݉଴= [ݔ଴, ݕ଴, ݖ଴, ݐ଴]்，請利用蓋格法（Geiger's method）將 之轉換成到時殘差（∆ܶ௜）與地震定位參數修正量(∆ݔ, ∆ݕ, ∆ݖ, ∆ݐ)的線 性方程表達式。（10 分） 承 ，將若干個測站的到時殘差與地震定位參數修正量線性方程組改 寫成矩陣形式，表示為ܩ∆݉= ݀，其中ܩ稱為核矩陣（kernel matrix）， ∆݉= [∆ݔ, ∆ݕ, ∆ݖ, ∆ݐ]்為地震定位參數修正量向量，݀為各測站的到時 殘差向量。若ܩ為病態矩陣（ill-conditioned matrix），請利用阻尼最小 平方法（damped least squares method）推導其估計解∆݉ ෢的矩陣表達式。 （15 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、非線性到時方程與線性化：T_i(m) = t + τ_i(x,y,z)，其中 τ_i = r_i/v，r_i = [(x_i−x)² + (y_i−y)² + (z_i−z)²]^{1/2}。對初始猜測 m₀ = [x₀, y₀, z₀, t₀]^T 作一階泰勒展開，得 T_i(m₀+Δm) ≈ T_i(m₀) + Σ_j (∂T_i/∂m_j) Δm_j。
• 二、偏導數與蓋格法方程式：移項得 ΔT_i = T_i^obs − T_i(m₀) = Σ_j (∂T_i/∂m_j) Δm_j，其中 ∂T_i/∂x = (x₀−x_i)/(v r_i)、∂T_i/∂y = (y₀−y_i)/(v r_i)、∂T_i/∂z = (z₀−z_i)/(v r_i)、∂T_i/∂t = 1。此即蓋格法（Geiger's method）的線性觀測方程，殘差 ΔT_i 為觀測到時與理論到時之差。
• 三、矩陣形式：對 N 個測站可寫成 G Δm = d，G 為 N×4 的核矩陣（kernel matrix），第 i 列即上述四個偏導數；Δm = [Δx, Δy, Δz, Δt]^T，d = [ΔT₁, …, ΔT_N]^T。求解後以 m ← m₀ + Δm 更新，反覆迭代直到殘差收斂。
• 四、阻尼最小平方法的目標函數：當 G 呈病態（ill-conditioned），例如測站幾何分佈不佳、測站集中於震源單側或缺乏深部約束時，最小平方解會劇烈變動，故改求 minimize ‖GΔm − d‖² + λ²‖Δm‖²，λ 為阻尼因子（damping parameter）。
• 五、估計解的推導：對 Δm 取梯度並令其為零，得 −2G^T d + 2G^T G Δm + 2λ² Δm = 0，即正規方程式 (G^T G + λ²I)Δm = G^T d，故 Δm̂ = (G^T G + λ²I)^{-1} G^T d；利用矩陣恆等式亦可寫成 Δm̂ = G^T(GG^T + λ²I)^{-1} d，測站數多時以後者計算較經濟。
• 六、性質與實務選取：λ 提供解析度與穩定度之間的折衷；λ 趨近 0 時回到一般最小平方解，λ 增大則修正量被壓抑、收斂較慢。實務上常以 L-curve、殘差與模型範數曲線或 Morozov 差異原則決定 λ，此即 Tikhonov 正則化與 Levenberg–Marquardt 阻尼法的精神。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

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