考慮地球岩石圈的熱傳導問題，令地層密度為ߩ、比熱為ܿ௣、熱導率 （thermal conductivity）為݇。隨深度ݖ的一維熱傳導方程式為： ߲ܶ ߲ݐ=…

題目

考慮地球岩石圈的熱傳導問題，令地層密度為ߩ、比熱為ܿ௣、熱導率 （thermal conductivity）為݇。隨深度ݖ的一維熱傳導方程式為： ߲ܶ ߲ݐ= ݇ ߩܿ௣ ߲ଶܶ ߲ݖଶ 上式中之ܶ(ݖ, ݐ)表示沿ݖ方向隨時間ݐ之溫度變化。請回答下列問題： 請利用傅立葉熱傳導定律（Fourier's Law of Heat Conduction）與能量 守恆原則，推導出此一維熱傳導方程式（如上式）。（5 分） 請利用分離變數法（separation of variables）求解此一維熱傳導方程式， 並寫出其一般解（general solution）的通式。（10 分） 考慮溫度只在垂直方向（ݖ方向）變化，且內部有熱源ܣ（單位體積之 產熱率），若地熱場達到穩定狀態（steady-state），即 డ் డ௧= 0，則其熱導 方程式為： ݀ଶܶ ݀ݖଶ= −ܣ ݇ 已知地表（ݖ= 0）處之溫度與熱流觀測值分別滿足：ܶ= 0與ݍ= −݇ ௗ் ௗ௭= −ݍ଴ （地表的熱流值），請推導出地溫分佈ܶ(ݖ)為何？（10 分）

參考解答（AI 生成，非官方）

• 一、傅立葉定律與能量守恆：傅立葉熱傳導定律（Fourier's law of heat conduction）為 q = −k ∂T/∂z，q 為熱流（heat flux）。考慮厚度 dz、截面積 A 的薄層，單位時間淨流入熱量為 −(∂q/∂z) dz·A；層內內能增加率為 ρ c_p (∂T/∂t) dz·A，兩者相等即為能量守恆。
• 二、一維熱傳導方程式：由 −∂q/∂z = ρ c_p ∂T/∂t，代入 q = −k ∂T/∂z 並視 k 為常數，得 ρ c_p ∂T/∂t = k ∂²T/∂z²，即 ∂T/∂t = κ ∂²T/∂z²，其中 κ = k/(ρc_p) 稱為熱擴散係數（thermal diffusivity），單位為 m²/s。
• 三、分離變數法：令 T(z,t) = Z(z)Θ(t)，代入後兩邊同除以 κZΘ，得 Θ'/(κΘ) = Z''/Z = −λ²，λ 為分離常數。於是得到兩個常微分方程：Θ' + κλ²Θ = 0 與 Z'' + λ²Z = 0。
• 四、一般解的通式：解得 Θ(t) = e^{−κλ²t}，Z(z) = A cos λz + B sin λz；當 λ = 0 時 Z(z) = C + Dz，代表穩態的線性地溫梯度。故一般解可寫為 T(z,t) = C + Dz + Σ_n (A_n cos λ_n z + B_n sin λ_n z) e^{−κλ_n² t}，或積分形式 T(z,t) = C + Dz + ∫₀^∞ [A(λ)cos λz + B(λ)sin λz] e^{−κλ²t} dλ，係數由初始條件與邊界條件決定。
• 五、穩態含熱源方程式的求解：∂T/∂t = 0 時 d²T/dz² = −A/k。積分一次得 dT/dz = −Az/k + C₁，再積分得 T(z) = −Az²/(2k) + C₁z + C₂。由地表 T(0) = 0 得 C₂ = 0；由 q(0) = −k(dT/dz)|₀ = −kC₁ = −q₀ 得 C₁ = q₀/k。
• 六、地溫分佈與討論：故 T(z) = (q₀/k) z − A z²/(2k)。第一項為地表熱流造成的線性增溫，第二項為放射性熱源（radiogenic heat production）造成的拋物線修正；當 A > 0 時地溫梯度隨深度遞減，與大陸地殼的觀測趨勢相符。

AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。

官方資料

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