民國112年 高考三級 教育行政 教育測驗與統計
第3題
某教育學者想知道某校六年級學生的平均身高，他自該校隨機抽取9名學 生為樣本，並測得其身高分別為140、142、140、143、139、140、141、 142、…
題目
某教育學者想知道某校六年級學生的平均身高，他自該校隨機抽取9名學 生為樣本，並測得其身高分別為140、142、140、143、139、140、141、 142、141公分（已計算出這9名學生身高的M=140.89，SD=1.26），請問： 你會推估出該校六年級學生的平均身高之95%信賴區間（查閱t分配表，臨 界值為±2.306）為何？請寫出計算過程並說明你的答案。（25分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、採用單一樣本平均數的 t 信賴區間：設母體平均身高為 μ，樣本平均數 M=140.89，樣本標準差 SD=1.26，n=9。因母體標準差未知且樣本數小，採 t 分配，自由度 df=n−1=8；95% 信賴區間公式為 CI=M±t(0.975,8)×(SD/√n)，題目給定 t 臨界值為2.306。
- 二、計算標準誤與誤差界限：標準誤 SE=SD/√n=1.26/√9=1.26/3=0.42 公分。誤差界限（margin of error）E=t×SE=2.306×0.42=0.96852，約0.97公分。此一步驟反映以9名學生推估全校六年級平均身高時，因抽樣而產生的不確定性。
- 三、求出信賴區間上下限：下限=140.89−0.96852=139.92148，約139.92公分；上限=140.89+0.96852=141.85852，約141.86公分。因此95%信賴區間約為[139.92, 141.86]公分，或寫成140.89±0.97公分。若以較多位數呈現，則為[139.921, 141.859]公分。
- 四、解釋與必要假設：可解釋為「若重複抽樣並每次依同樣方法建構區間，約有95%的區間會涵蓋真正的母體平均身高」；不宜說「母體平均身高有95%機率落在本區間」。此推論假設樣本為隨機抽取、9名學生彼此獨立、母體近似常態（或 t 檢定在小樣本下尚穩健），且1.26為樣本標準差；若1.26為母體標準差，則應改用 z 分配，答案會略有不同。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。