民國110年 高考三級 統計 統計學
第3題
以下是(ܺ, ܻ)兩變數之觀測資料： X Y 7.46 6.77 12.74 7.11 7.81 8.84 6.08 5.39 8.15 6.42 5.73 以…
題目
以下是(ܺ, ܻ)兩變數之觀測資料： X Y 7.46 6.77 12.74 7.11 7.81 8.84 6.08 5.39 8.15 6.42 5.73 以下考慮皮爾森相關係數（Pearson’s correlation coefficient ݎ）與皮爾曼 等級相關係數（Spearman’s rank correlation coefficient ݎ௦）。 試畫出(ܺ, ܻ)之散布圖，並試計算ݎ與ݎ௦。（10 分） 試刪去本數據中之離群子後，重新計算ݎ與ݎ௦。（5 分） 試問ݎ與ݎ௦何者容易受離群子影響？（5 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、散布圖之文字描述（繪圖題）：以 X 為橫軸、Y 為縱軸，標出各觀測點並註明軸名、刻度與原點。本組資料即 Anscombe 四重奏（Anscombe's quartet）第三組之型態：除一點明顯偏離（約在 X = 13、Y = 12.74 之右上方）外，其餘各點幾乎精確落在一條斜率約 0.345 之直線上。考生應依此描述繪製並圈出該離群點。
- 二、Pearson 相關係數：r = Sxy / √(Sxx·Syy)，其中 Sxy = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ)、Sxx = Σ(xi − x̄)²、Syy = Σ(yi − ȳ)²。計算步驟為先求兩變數之平均數，再求交叉乘積和與各自平方和，最後相除。r 介於 −1 與 1 之間，衡量線性關係之方向與強度。
- 三、Spearman 等級相關係數：先將 X、Y 各自由小到大排序給秩（遇並列值取平均秩），令 di 為同一觀察值在兩變數之秩差，則 rs = 1 − 6Σdi² / [n(n² − 1)]；若無並列秩，此式與以秩計算之 Pearson 相關完全相同。
- 四、數值結果：題目資料經轉錄後 X 僅列 5 個數值、Y 列 6 個數值，無法一一配對，屬題目資料缺漏，無法得出唯一數值；考生應以上述公式列式並保留完整計算過程。若題目原意為 Anscombe 第三組完整 11 筆資料，則 r ≈ 0.816、rs ≈ 0.991，可作為對照。
- 五、刪除離群點後：刪去 (13, 12.74) 後其餘 10 點幾乎共線，Pearson r 將上升至約 0.999 以上，Spearman rs 亦接近 1。此即 Anscombe 四重奏欲表達之重點——相同的相關係數可能對應截然不同的資料結構；實際數值仍須以完整資料重算。
- 六、何者易受離群值影響：Pearson r 使用原始觀測值與平方和，對離群值（尤其具槓桿效果之 leverage point）非常敏感，一個遠離之點即可大幅壓低 r；Spearman rs 僅使用秩次，屬穩健（robust）統計量，受離群值影響有限。故 r 較易受離群值影響，惟樣本小時單一離群點仍可能改變秩次，需留意。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。