民國111年 高考三級 統計 統計學
第3題
A、B、C 為三種硬幣，其正面的概率分別為1/3, 1/2, 2/3。今隨機選了一 個，拋8 次，得到5 次正面3 次反面。（每小題10 分，共20 分） 以似…
題目
A、B、C 為三種硬幣，其正面的概率分別為1/3, 1/2, 2/3。今隨機選了一 個，拋8 次，得到5 次正面3 次反面。（每小題10 分，共20 分） 以似然比（Likelihood ratio）方法估計這是那個硬幣的可能性最大。 若A 硬幣有3 個，B 硬幣有2 個，C 硬幣有1 個；從這6 個隨機選一 個拋8 次，得5 次正面3 次反面。以似然比方法估計這是那種硬幣。
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、似然函數的建立：令正面次數 K~Binomial(8,p)，觀測到 k=5。似然函數為 L(p)=C(8,5)p^5(1-p)^3，常數 C(8,5)=56 不影響比較，故只比較 p^5(1-p)^3。似然比（likelihood ratio）法即比較各候選 p 下的 L(p)，找出使觀測資料最可能出現的參數。
- 二、三種硬幣的似然值：A 硬幣 p=1/3，L_A∝(1/3)^5(2/3)^3=8/6561≒0.001219；B 硬幣 p=1/2，L_B∝(1/2)^8=1/256≒0.003906；C 硬幣 p=2/3，L_C∝(2/3)^5(1/3)^3=32/6561≒0.004877。因 L_C 最大，故以似然比法估計為 C 硬幣。
- 三、似然比判讀：以 A 為基準，L_C/L_A=4，L_B/L_A=(1/256)/(8/6561)=6561/2048≒3.204；以 B 為基準，L_C/L_B=(32/6561)/(1/256)=8192/6561≒1.249。C 的似然值約為 A 的 4 倍、B 的 1.25 倍，支持 C 的程度最高，但並非「必然為 C」。
- 四、加入先驗個數：第二小題的抽選並非等機率，A、B、C 被選中的先驗機率分別為 3/6、2/6、1/6。後驗機率與 prior×likelihood 成正比；因共同分母 6 可約去，可以先以個數 3、2、1 加權，得未標準化值 A：3×8/6561=24/6561，B：2×1/256=1/128，C：1×32/6561=32/6561。比較可知 B 最大，估計為 B 硬幣。
- 五、後驗機率與結論：將上述加權值通分，共同分母取 6561×128，分子和為 3072+6561+4096=13729，故 P(A|data)=3072/13729≒22.38%，P(B|data)=6561/13729≒47.80%，P(C|data)=4096/13729≒29.83%。B 的後驗機率最高；此處本質上是先驗加權的似然比，與第一小題僅用 likelihood 的結果不同，答題時應明確區分。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。