民國110年 高考三級 經建行政 統計學
第4題
學術能力測試（SAT）包含三個領域：關鍵性閱讀、數學和寫作，每個領 域的滿分為800 分。想了解學生在SAT 的三個領域表現是否有不同， 本題考慮完整的隨機區塊…
題目
學術能力測試（SAT）包含三個領域：關鍵性閱讀、數學和寫作，每個領 域的滿分為800 分。想了解學生在SAT 的三個領域表現是否有不同， 本題考慮完整的隨機區塊設計（complete randomized block design），進行 學生在SAT 的三個領域之資料蒐集。以下是六名學生的SAT 分數樣本： 學生 關鍵性閱讀 數學 寫作 請說明為何考慮隨機區塊設計？何者為區塊以及何者為感興趣的因 子。（5 分） 給定SSTR=1348, SSBL=63250 and SST=65798，建構對應的ANOVA 表 （SSTR：Sum of squares for Treatment；SSBL：Sum of squares for Block； SST：Total sumof squares）。在5%的顯著水準下，是否有足夠證據說明 學生在SAT 的三個領域表現不同？寫下假設檢定的過程，包括虛無與 對立假設、拒絕域、檢定統計量與檢定結果。（15 分）
參考解答（AI 生成，非官方）
- 一、為何採隨機區塊設計：學生的語文與數理天賦差異極大，屬典型干擾變數（nuisance variable）。若採完全隨機設計，這部分變異會全數落入誤差項而使檢定力下降；改以「每位學生」為區塊，在同一區塊內比較三個領域，可將學生間差異自誤差中分離，僅用學生內部差異檢定領域效果。
- 二、區塊與因子的界定：區塊（block）為「學生」，共 6 個水準；感興趣的因子（factor）為「SAT 領域」，有 3 個水準（關鍵性閱讀、數學、寫作）。每位學生在三個水準下各提供一個觀測值，故為完整隨機區塊設計（complete randomized block design），總觀測數 6×3=18。
- 三、假設與 ANOVA 表建構：H0：三個領域平均分數相等（τ1=τ2=τ3=0）；H1：至少有一領域不同。SSE=SST−SSTR−SSBL=65798−1348−63250=1200。自由度為處理 2、區塊 5、誤差 10、總 17；MSSTR=1348/2=674、MSBL=63250/5=12650、MSE=1200/10=120，F=674/120=5.617。
- 四、拒絕域與檢定結果：拒絕域為 F>F0.05,2,10=4.10。因 5.617>4.10，拒絕 H0，p 值約 0.023，故在 5% 水準下有足夠證據說明學生在三個領域的表現不全相同。另區塊的 F 值為 12650/120=105.4，遠大於臨界值，顯示區塊效果顯著、設計確有降低誤差之效。
- 五、後續與限制：拒絕 H0 僅指出「不全相等」，欲知哪兩個領域有差異，須從事後多重比較（如 LSD、Tukey HSD 或 Bonferroni）並控制整體錯誤率。此外區塊設計要求區塊內觀測可比較，若學生缺考造成資料不完整，即須改用不平衡設計或剔除該區塊處理。
AI 依官方試題文字產生的參考解答，非考選部公告答案，內容僅供備考參考。